离散时间与连续时间

离散采样信号

离散时间将变量值看做是出现在不同的、独立的“时间点”上，或等同于在每个非零时间段内保持不变，即将时间看做离散变量。因此，从一个时间段移动到下一个时间段时，非时间变量从一个值跳到另一个值。这种框架下，每个相关变量在每个时间段取1次值，两时间段之间的测量次数有限，通常在时间变量的连续整数值上进行。

离散信号或离散时间信号是由一系列数量组成的时间序列。不同于连续时间信号，其不是连续参数的函数，不过也可能是从连续时间信号中采样所得，间隔均匀的时长采样的话会有相关联的采样率。

离散时间信号有多种来源，可以分为两类：[1]

• 从常值或变值的模拟信号取值。此过程称作采样。[2]
• 观测离散时间过程，如某经济指标的周峰值。

相对地，连续时间将变量看作只有在无穷短时间段内才有特定值。任意两时点间，又有无穷多时点。时间变量在整条实数线上取值，或在取决于具体应用的子集上取值，如非负实数。这时，时间被视作连续变量。

连续信号或连续时间信号是一种变化的量 (物理)（信号），其定义域（通常是时间）是连续统（如实数的连通区间）。即，函数的定义域是不可数集，而函数本身不必连续。相对地，离散时间信号具有可数定义域，如自然数。

连续振幅、连续时间的信号常常称作模拟信号，在每一瞬间都有一定值。与温度、压力、声音等物理量成比例的电信号一般是连续信号。连续信号的其他例子有正弦波、余弦波、三角波等等。

信号的定义域可能是有限的也可能不是，定义域到信号值有一个泛函映射。时间变量的连续性与实数密度定律有关，意味着可在任意时间点找到信号值。无限信号的一个典型例子是

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

其对应的有限时长对应信号可以是

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$，否则${\displaystyle f(t)=0}$。

有限/无限时长信号值可能有限也可能无限，例如

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$，否则${\displaystyle f(t)=0}$。

这是有限时长信号，但在${\displaystyle t=0}$时的值是无限的。

很多学科中，约定俗成的做法是连续信号必须始终有限，这对物理信号来说更有意义。 某些情况下，只要信号在任意有限区间内可积，那么无穷奇点也可以接受（如${\displaystyle t^{-1}}$信号在无穷大时不可积，但${\displaystyle t^{-2}}$可积）。

任何模拟信号本质上都是连续的。用于数字信号处理的离散时间信号可从连续信号采样与量化得到。

连续信号也可用时间以外的自变量来定义，常见的如空间，在2维的图像处理中尤其有用。

离散时间常用于實證度量情景，因为通常只能按顺序测量变量。例如，虽然经济活动实际上是持续进行的，不存在经济活动完全停顿的时刻，但只能对经济活动进行离散测量。因此，诸如国内生产总值之类数据只能离散地显示一系列季度值。

试图用其他变量和/或变量的先前值解释时，会使用时间序列或回归分析方法，当中变量用下标表示观测时段。例如${\displaystyle y_{t}}$指在t时间段内观察到的收入，${\displaystyle y_{3}}$是第三个时间段内观察到的收入。

此外，建立理论以解释离散时间内观察到的现象时，为便于建立时间序列或回归模型，通常用离散时间表示理论。

另一方面，连续时间理论模型往往在数学上更容易解，而且物理学等领域中，精确的描述往往需要连续时间。当中，变量y在未指定时间点的值表为${\displaystyle y(t)}$，含义明确则简单表为y。

离散时间中测量的变量可绘制为阶跃函数，当中每个时间段在横轴上都有等长区域，测量变量在单个区域内保持不变，函数图像将是一系列水平阶梯。另一种方法是将时间段视作独立的时间点，通常是水平轴上的整数值，然后将测量变量绘为时间轴点上方的高度，函数图像将是一组点。 连续时间中测量的变量可绘制为连续函数，因为时间域一般认为是整个实数轴或至少是其上某些连通部分。

• Gershenfeld, Neil A. . Cambridge University Press. 1999. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon. . Wiley. 1959.