非線性系統

一階常微分方程常常可以利用分離變數法來解，特別是自守方程

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=f(u)\,}$。

例如

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}\,}$

這個方程式的通解為 ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$，特解為 u = 0（即通解在 C 趨近於無限大時的極限）。此方程是非線性的，因為它可以被改寫為

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0\,}$，

而等號左邊並不是 u 的線性映射。若把此式的 u² 換成 u，則會變成線性方程（指数衰减）。

二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解，反而較常表為隐函数或非初等函数積分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括：

• 檢查是否有任何守恆量（特別是在處理哈密頓系統的時候）。
• 檢查有沒有類似守恆量的耗散量（見李亞普諾夫函數）。
• 利用泰勒展開式作線性近似。
• 利用變數變換法，改寫成較易分析的方程。
• 分岔理論。
• 微擾法（也可應用在代數方程上）。

研究非線性偏微分方程最常見也最基礎的方法就是變數變換，變換以後的方程會較簡單，甚至有可能會變成線性方程。有時候，變數變換後的方程可能會變成一個或兩個以上的常微分方程（如同用分離變數法解偏微分方程），不管這些常微分方程可不可解，都能幫助我們了解這個系統的行為。

另一個流體力學和熱力學裡常用的方法（但數學性較低），是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程，使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如，在描述一個圓管內一維層流的暫態時，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡化成一個線性偏微分方程；這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件：一維和層流。

其他分析非線性偏微分方程的方法還有特徵線法，以及上述分析常微分方程時常用的方法。

單擺（v 表示速度向量；a 表示加速度向量）

非線性問題的一個典型的例子，就是重力作用之下單擺的運動。單擺的運動可由以下的方程來描述（用拉格朗日力學可以證明[5]）：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0\,}$。

這是一個非線性且無因次的方程，${\displaystyle \theta }$ 是單擺和它靜止位置所夾的角度，如動畫所示。此方程的一個解法是將 ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}}$ 視為積分因子，積分以後得

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}\,}$。

上述的解是隱解的形式，同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用，因為非初等函數積分（即使 ${\displaystyle C_{0}=0}$ 仍然是非初等函數）把解的各種特性隱藏了起來，使我們不易看出單擺系統的行為。

另一個解法是把這個非線性方程作線性近似：利用泰勒展開式將非線性的 sine 函數線性化，並在某些特定的點附近討論解的情形。例如，若在 ${\displaystyle \theta =0}$ 的點附近作線性近似（又稱小角度近似），${\displaystyle \theta \approx 0}$ 時，${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$，故原方程可以改寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0\,}$。

近似後的方程變成了簡諧振盪，因此當單擺運動到底部附近時，可以對應到一個簡諧振子。而若在 ${\displaystyle \theta =\pi }$（即當單擺運動到圓弧的最高點時）附近作線性近似，${\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )\approx \pi -\theta }$，故原方程可以改寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0\,}$。

這個方程的解含有雙曲正弦函數，因此和小角度近似不同，這個近似是不穩定的，也就是說 ${\displaystyle |\theta |}$ 會無限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。當我們把解對應回單擺系統後，就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡，也就是說，單擺在最高點時是不穩定的狀態。

另一個有趣的線性近似是在 ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ 附近，此時 ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$，故原方程可以改寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0\,}$，

這個近似後的方程可以對應到自由落體。

若把以上線性近似的結果合在一起看，就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程的方法，可以進一步幫助我們找到更精確的相圖，或是估算單擺的週期。