积和式

在线性代数中，积和式（英語：）是一个由方块矩阵 $A$ 计算得到的标量，记作 $\operatorname {perm} (A)$ 。积和式的定义与行列式类似，只是在求和时不添加正负号。当矩阵 $A$ 包含若干变量时，积和式也可以看作是一个关于这些变量的多项式。积和式在计算机科学，特别是计算复杂性理论中有重要的地位，因为理论上的一个重要难题——计算一个二分图（bipartite graph）上完美匹配（perfect matching）的数目——等价于求某个矩阵的积和式。

定义

一个 $n\times n$ 矩阵 $A=(a_{i,j})$ 的积和式定义为

\operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}.

其中 $S_{n}$ 为 $n$ 阶置换群，即包含所有 $n$ 元排列的集合。在 $n=2$ 的特殊情形下，

\operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc.

从定义不难验证，积和式是多线性多项式，且置换 $A$ 中行（或列）后保持不变。与行列式类似，积和式也可以用拉普拉斯展开式展开。

作为比较，同一个矩阵 $A$ 的行列式定义为

\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}

其中 $\operatorname {sgn}(\sigma )$ 为符号差。可以看出，两者形式上的区别仅在于某些项前面的符号有所不同。尽管如此，它们在性质上却有诸多不同。比如，置换 $A$ 中两行（或列）后行列式的符号会改变，而正是这一性质使我们得以利用高斯消元法高效求出行列式的值。

与组合问题的联系

积和式的定义可以从如下两方面理解，一是用于计算二分图上完美匹配的个数，二是用于计算一个图上的圈覆盖的个数。

与二分图完美匹配的关系

二分图上的完美匹配是算法理论和计算复杂性理论中的重要问题。设二分图 $G=(L,R,E)$ ，其中 $L=\{1,2,\dots ,n\}$ 是左边结点的集合， $R=\{1',2',\dots ,n'\}$ 是右边结点的集合， $E$ 为边的集合。如果双射 $f:L\to R$ 满足 $(1,f(1)),(2,f(2)),\dots ,(n,f(n))$ 均为 $E$ 中的边，那么我们称其为 $G$ 的一个完美匹配。

对包括二分图在内的任意图 $G$ ，我们定义其邻接矩阵 $A_{G}=(a_{ij})_{n\times n}$ 如下：若 $(i,j')\in E$ 则 $a_{ij}=1$ ，否则 $a_{ij}=0$ 。不难验证， $\operatorname {perm} (A_{G})$ 的值即是 $G$ 中完美匹配的个数，因为乘积项与双射之间一一对应，而不满足条件的双射所对应的乘积项为零。这样，我们就将积和式的值与二分图完美匹配的个数建立了联系。

与图的圈覆盖的关系

设有向图 $G=(V,E)$ ， $V=\{1,2,\dots ,n\}$ 为结点集， $E$ 为边集。 $G$ 的一个圈覆盖定义为 $G$ 中一组不相交的圈的集合，且这些圈覆盖了 $V$ 。由于一个置换可以做环状分解，可以看出一个置换与一个可能的圈覆盖是一一对应的。特别地， $G$ 的邻接矩阵 $A_{G}$ 的积和式即是 $G$ 中圈覆盖的数目。

积和式的计算复杂性

Valient首先证明了积和式的求值问题是#P完全的，即便矩阵各项的值仅能取0或1[1]。也就是说，任何#P复杂性类中的计数问题都能多项式归约到积和式的求值问题。而户田定理（Toda's theorem）告诉我们 ${\textsf {PH}}\subseteq {\textsf {P}}^{\#{\textsf {P}}}$ ，因此假若能在确定性多项式时间内解决积和式求值问题，那么也能在确定性多项式时间内解决一切属于多项式谱系（ ${\textsf {PH}}$ ）的判定问题，进而导致 ${\textsf {P}}={\textsf {NP}}={\textsf {PH}}$ ；计算机科学家普遍相信这是不可能的。可见计算积和式的复杂性远比计算行列式高；后者易用高斯消元等算法在确定性多项式时间内解决。

虽然精确计算积和式很困难，但是的确存在近似计算积和式的高效算法。Jerrum，Sinclair和Vigoda设计出了一种多项式时间内的随机算法，能以任意精度（FPRAS）近似计算非负矩阵的积和式[2]。

参考文献

Valiant, L.G. . Theoretical Computer Science. 1979, 8 (2): 189–201 [2020-10-21]. doi:10.1016/0304-3975(79)90044-6. （原始内容存档于2021-03-08）（英语）.
Jerrum, Mark; Sinclair, Alistair; Vigoda, Eric. . Proceedings of the thirty-third annual ACM symposium on Theory of computing - STOC '01 (Hersonissos, Greece: ACM Press). 2001: 712–721. ISBN 978-1-58113-349-3. doi:10.1145/380752.380877 （英语）.

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[1] Valiant, L.G. . Theoretical Computer Science. 1979, 8 (2): 189–201 [2020-10-21]. doi:10.1016/0304-3975(79)90044-6. （原始内容存档于2021-03-08）（英语）.

[2] Jerrum, Mark; Sinclair, Alistair; Vigoda, Eric. . Proceedings of the thirty-third annual ACM symposium on Theory of computing - STOC '01 (Hersonissos, Greece: ACM Press). 2001: 712–721. ISBN 978-1-58113-349-3. doi:10.1145/380752.380877 （英语）.