積分常數

任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數${\displaystyle F(x)}$，因為${\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)}$，加上或減去一常數C後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。

例如，假設需要求得 ${\displaystyle \cos(x)}$的反導數，${\displaystyle \sin(x)}$、${\displaystyle \sin(x)+1}$及${\displaystyle \sin(x)-\pi }$的導數都是${\displaystyle \cos(x)}$，因此都是${\displaystyle \cos(x)}$的反導數。

同一個函數可以有許多的反導數，而這些反導數之間只相差一個常數，因此若要列出 ${\displaystyle \cos(x)}$所有的反導數，可以用以下的通式：

${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}$

C即為積分常數，利用下式可以確認這些函數的確都是${\displaystyle \cos(x)}$的反導數：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$

若利用線性代數的描述方式，微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中，因此其反運算（積分）會多一個待確定的條件[3]。

積分常數可以設為0，而且利用微積分基本定理計算定積分時，積分常數會互相抵消，積分常數看似沒有必要。

不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理，例如${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$可以用以二種方式積分：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}}$

即使將C設為0，仍然有些積分表示式中會出現常數，也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。

使用積分常數的另一個原因，是有時會需要反導數在特定點為某特定值，就像是初值問題的情形一様。例如要求出${\displaystyle \cos(x)}$的反導數，且x = π時的值為100，此時C只有一個數值才能滿足此條件（此例中C = 100）。

上述限制可以用微分方程的形式來描述：求解一個函數${\displaystyle f(x)}$的反導數也就是求解微分方程${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$。任何微分方程都有許多的解，每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中x = π時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的C值，若沒有積分常數C，許多初值問題就無法求解。

原因可以用以下定理來表示：令${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$及${\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數x，${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$都成立，則存在一實數C使得對於所有的實數x，${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$皆成立。

若要證明此式，由於${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}$，因此以下用F-G來代替F，而用常數函數0來代替G，待證明為一個處處可微，導數恆為0的函數一定是常數：

選擇一實數a，令${\displaystyle C=F(a)}$。針對任意的x，依照微積分基本定理可得

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}}$

因此可得${\displaystyle F(x)=C}$，因此F為常數函數。

證明過程中，有二個條件相當重要。首先，實數數線為連通空間，若實數數線不是連通空間，就無法從固定的a點積分到任意的x點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義，而a為0，因為函數在1到2之間沒有定義，不可能從0積分到3。此時會有二個常數，分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言，若將常數改為局部常數函數s，可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如${\displaystyle \textstyle \int dx/x}$有二個積分常數，而${\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,}$有無限個積分常數。1/x積分的一般式為：[4]

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

再者，F和G的條件需是處處可微的函數，若F及G在某一點不可微，則以上定理不成立。例如令${\displaystyle F(x)}$单位阶跃函数，在x負值時為0，在x非負時為1，令${\displaystyle G(x)=0}$。F在有定義導數的區域，其導數為0，G的導數恆為0，但F及G不只差一個常數而已。

甚至假設F及G為處處連續，幾乎處處可微，則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。