积分表

由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分：

基础概念（含极限论和级数论）

實數性質
函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（銜尾蛇） · 無窮小量 · ε-δ語言 · 实无穷 · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 · · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐標系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数 · 几何级数 · 调和级数 · 項測試 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数 · 一致收斂 · 迪尼定理
數列與級數
連續
函數

一元微分

差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性 · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号 · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则 · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式 · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测 · 凸函數 · 凹函數 · 簡森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数

一元积分

定义
积分表
不定积分定积分黎曼积分达布积分勒贝格积分积分的线性
求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法）微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · 微积分基本定理 · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 數值積分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森積分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理

多元微积分

偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分（逐次积分 · 积分顺序） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯散度定理 · 斯托克斯定理及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分） · 弱微分

含有 $ax+b$ 的积分

\int \ (ax+b)^{n}{\mbox{d}}x={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C

\int {\frac {1}{ax+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C

\int {\frac {x}{ax+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a^{2}}}(ax+b-b\ln \left|ax+b\right|)+C

\int {\frac {x^{2}}{ax+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2a^{3}}}\left[(ax+b)^{2}-4b(ax+b)+2b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right]+C

\int {\frac {1}{x(ax+b)}}{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|+C

\int {\frac {1}{x^{2}(ax+b)}}{\mbox{d}}x={\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|-{\frac {1}{bx}}+C

含有 ${\sqrt {a+bx}}$ 的积分

\int x{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x={\frac {2}{15b^{2}}}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac {3}{2}}+C

\int x^{2}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x={\frac {2}{105b^{3}}}(15b^{2}x^{2}-12abx+8a^{2})(a+bx)^{\frac {3}{2}}+C

\int x^{n}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x={\frac {2}{b(2n+3)}}x^{n}(a+bx)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2na}{b(2n+3)}}\int x^{n-1}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x

\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x}}{\mbox{d}}x=2{\sqrt {a+bx}}+a\int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}}}}{\mbox{d}}x

\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n}}}{\mbox{d}}x={\frac {-1}{a(n-1)}}{\frac {(a+bx)^{\frac {3}{2}}}{x^{n-1}}}-{\frac {(2n-5)b}{2a(n-1)}}\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n-1}}}{\mbox{d}}x,n\neq 1

\int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left({\frac {{\sqrt {a+bx}}-{\sqrt {a}}}{{\sqrt {a+bx}}+{\sqrt {a}}}}\right)+C,a>0

={\frac {2}{\sqrt {-a}}}\arctan {\sqrt {\frac {a+bx}{-a}}}+C,a<0

\int {\frac {x}{\sqrt {a+bx}}}{\mbox{d}}x={\frac {2(a+bx)^{\frac {3}{2}}}{3b^{2}}}-{\frac {(2a){\sqrt {a+bx}}}{b^{2}}}

\int {\frac {1}{x^{n}{\sqrt {a+bx}}}}{\mbox{d}}x={\frac {-1}{a(n-1)}}{\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n-1}}}-{\frac {(2n-3)b}{2a(n-1)}}\int {\frac {1}{x^{n-1}}}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x,n\neq 1

含有 $x^{2}\pm \alpha ^{2}$ 的积分

\int {\frac {1}{x^{2}+\alpha ^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {\arctan {\dfrac {x}{\alpha }}}{\alpha }}+C

\int {\frac {1}{\pm x^{2}\mp \alpha ^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {\ln \left({\dfrac {x\mp \alpha }{\pm x+\alpha }}\right)}{2\alpha }}+C

含有 ${ax^{2}+b}$ 的积分

\int {\frac {1}{ax^{2}+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan {\frac {{\sqrt {a}}x}{\sqrt {b}}}+C

含有 $ax^{2}+bx+c$ 的积分

\int (ax^{2}+bx+c){\mbox{d}}x={\frac {ax^{3}}{3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+C

含有 ${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\qquad (a>0)$ 的积分

\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{2}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C

\int x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{8}}x(a^{2}+2x^{2}){\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-{\frac {1}{8}}a^{4}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x}}{\mbox{d}}x={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right)+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x^{2}}}{\mbox{d}}x=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x}}+C

\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{\mbox{d}}x=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-{\frac {1}{2}}a^{2}\ln \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x\right)+C

\int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {x}{a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}\right)+C

\int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{a^{2}x}}+C

含有 ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\qquad {(x^{2}>a^{2})}$ 的积分

\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{\mbox{d}}x=ln|x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C

含有 ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad (a^{2}>x^{2})$ 的积分

\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\mbox{d}}x=\arcsin {\frac {x}{a}}+C=-\arccos {\frac {x}{a}}+C

\int x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{8}}x(2x^{2}-a^{2}){\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{8}}a^{4}\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}{\mbox{d}}x={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x^{2}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}-\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)+C

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{a^{2}x}}+C

含有 $R={\sqrt {|a|x^{2}+bx+c}}\qquad (a\neq 0)$ 的积分

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left(2{\sqrt {a}}R+2ax+b\right)\qquad ({\mbox{for }}a>0)

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\operatorname {arsinh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{\mbox{)}}

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}}}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\qquad {\mbox{(for }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{\mbox{, }}\left(2ax+b\right)<{\sqrt {b^{2}-4ac}}{\mbox{)}}

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{3}}}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2})R}}

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{5}}}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2})R}}\left({\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\right)

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{2n+1}}}={\frac {2}{(2n-1)(4ac-b^{2})}}\left[{\frac {2ax+b}{R^{2n-1}}}+4a(n-1)\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{2n-1}}}\right]

\int {\frac {x}{R}}\;{\mbox{d}}x={\frac {R}{a}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}

\int {\frac {x}{R^{3}}}\;{\mbox{d}}x=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2})R}}

\int {\frac {x}{R^{2n+1}}}\;{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{2n-1}}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{2n+1}}}

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\ln \left({\frac {2{\sqrt {c}}R+bx+2c}{x}}\right)

\int {\frac {{\mbox{d}}x}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right)

含有三角函数的积分

\int \cos x{\mbox{d}}x=\sin x+C

\int \sin x{\mbox{d}}x=-\cos x+C

\int \sec ^{2}x{\mbox{d}}x=\tan x+C

\int \csc ^{2}x{\mbox{d}}x=-\cot x+C

\int \sec x\tan x{\mbox{d}}x=\sec x+C

\int \csc x\cot x{\mbox{d}}x=-\csc x+C

\int \tan x{\mbox{d}}x=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec x\right|}+C

\int \cot x{\mbox{d}}x=\ln {\left|\sin x\right|}+C

\int \sec x{\mbox{d}}x=\ln {\left|\sec x+\tan x\right|}+C

\int \csc x{\mbox{d}}x=\ln {\left|\csc x-\cot x\right|}+C=\ln {\left|{\tan x-\sin x \over \sin x\tan x}\right|}+C

\int \sin ^{n}x{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}x\cos x+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2

\int \sin ^{2}x{\mbox{d}}x={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin {2x}}{4}}+C

\int \cos ^{n}x{\mbox{d}}x={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2

\int \cos ^{2}x{\mbox{d}}x={\frac {x}{2}}+{\frac {\sin {2x}}{4}}+C

\int \tan ^{n}x{\mbox{d}}x={\frac {1}{n-1}}\tan ^{n-1}x-\int \tan ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2

\int \tan ^{2}x{\mbox{d}}x=\tan x-x+C

\int \cot ^{n}x{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{n-1}}\cot ^{n-1}x-\int \cot ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2

\int \cot ^{2}x{\mbox{d}}x=-\cot x-x+C

\int \sec ^{n}x{\mbox{d}}x={\frac {1}{n-1}}\sec ^{n-2}x\tan x+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2

\int \csc ^{n}x{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{n-1}}\csc ^{n-2}x\cot x+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2

含有反三角函数的积分

\int \arcsin x{\mbox{d}}x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

\int \arccos x{\mbox{d}}x=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C

\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C

\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C

\int \operatorname {arcsec} x{\mbox{d}}x=x\operatorname {arcsec} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\operatorname {arcsec} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C

\int \operatorname {arccsc} x{\mbox{d}}x=x\operatorname {arccsc} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\operatorname {arccsc} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C

含有指数函数的积分

\int e^{x}{\mbox{d}}x=e^{x}+C

\int \alpha ^{x}{\mbox{d}}x={\frac {\alpha ^{x}}{\ln \alpha }}+C

\int xe^{ax}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a^{2}}}(ax-1)e^{ax}+C

\int x^{n}e^{ax}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a}}x^{n}e^{ax}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}e^{ax}{\mbox{d}}x

\int e^{ax}\sin bx{\mbox{d}}x={\frac {e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}}(a\sin bx-b\cos bx)+C

\int e^{ax}\cos bx{\mbox{d}}x={\frac {e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}}(a\cos bx+b\sin bx)+C

含有对数函数的积分

\int \ln x{\mbox{d}}x=x\ln x-x+C

\int \log _{\alpha }x{\mbox{d}}x={\frac {1}{\ln \alpha }}\left({x\ln x-x}\right)+C

\int x^{n}\ln x{\mbox{d}}x={\frac {x^{n+1}}{(n+1)^{2}}}[(n+1)\ln x-1]+C

\int {\frac {1}{x\ln {x}}}{\mbox{d}}x=\ln {(\ln {x})}+C

含有双曲函数的积分

\int \sinh x{\mbox{d}}x=\cosh x+C

\int \cosh x{\mbox{d}}x=\sinh x+C

\int \tanh x{\mbox{d}}x=\ln \left(\cosh x\right)+C

\int \coth x{\mbox{d}}x=\ln \left|\sinh x\right|+C

\int {\mbox{sech}}\ x{\mbox{d}}x=\arcsin \left(\tanh x\right)+C=\arctan \left(\sinh x\right)+C

\int {\mbox{csch}}\ x{\mbox{d}}x=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C

定積分

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}{\mbox{d}}x={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sin}}^{n}x{\mbox{d}}x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{cos}}^{n}x{\mbox{d}}x={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},&{\mbox{if }}n>1{\mbox{ 且 }}n{\mbox{為 奇 數  }}\\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}n>0{\mbox{ 且 }}n{\mbox{為 偶 數  }}\end{cases}}

这是沃利斯公式的一个情形，详见沃利斯乘积

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