穩定多項式

• 劳斯–赫尔维茨定理提供了判斷多項式是否為赫爾維茨穩定的演算法，是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据及林纳德–奇帕特判据來實現。
• 若要測試某多項式P（次數為d）是否為舒爾穩定，將上述定理用在以下轉換後的多項式中

${\displaystyle Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)}$

是在莫比乌斯变换 ${\displaystyle z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}}$後的結果，將左半平面映射到開集的單位圓內。P為舒爾穩定，若且唯若Q為赫爾維茨穩定而且${\displaystyle P(1)\neq 0}$。針對高次的多項式可以用其他的測驗方式（例如Schur-Cohn測試、Jury穩定性判準或是Bistritz穩定性判準）來判定，可以避免映射上的複雜計算。

• 必要條件：（實係數的）赫爾維茨穩定多項式其係數符號都相同（均為正數或是均為負數）。
• 充份條件：（實係數的）多項式${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$若滿足以下條件：:${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,}$

則多項式為舒爾穩定。

• 乘積律：二個（同樣考慮赫爾維茨穩定或舒爾穩定）多項式f及g都穩定的充份必要條件為其乘積fg穩定。

• ${\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1}$為舒爾穩定，因為滿足充份條件。
• ${\displaystyle z^{10}}$為舒爾穩定（因為所有的根都為零），但不滿足充份條件。
• ${\displaystyle z^{2}-z-2}$不是赫爾維茨穩定（其根為-1,2），因為其違反了必要條件。
• ${\displaystyle z^{2}+3z+2}$是赫爾維茨穩定（其根為-1,-2）。
• 多项式 ${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1}$（都是正係數），既不是赫爾維茨穩定，也不是舒爾穩定，其根為5次单位根中的4個原根

${\displaystyle z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\ .}$

注意

${\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.}$

這是舒爾穩定的臨界情形，因為根恰好在單位圓上，也看到上述的赫爾維茨穩定條件（根均為正）只是必要條件，不是充份條件。

• Mathworld page （页面存档备份，存于）

• 稳定性判据
• 穩定半徑