劳斯–赫尔维茨稳定性判据

• 令 ${\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c}$ (为了简单起见，此處取实系数），其中 ${\displaystyle c\neq 0}$（为了避免一根为零，可以利用劳斯–赫尔维茨定理）。首先，要计算实多项式 ${\displaystyle P_{0}(y)}$ 与 ${\displaystyle P_{1}(y)}$：

${\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).}$

接下来，将多项式辗转相除来得到广义施图姆链：

• ${\displaystyle P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,}$ 得到 ${\displaystyle P_{2}(y)=-c,}$
• ${\displaystyle P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),}$ 得到 ${\displaystyle P_{3}(y)=0}$，于是輾轉相除法结束。

注意在第一次除法中，必须假设 b 不为零。在此情形下，广义施图姆链为 ${\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)}$。令 ${\displaystyle y=+\infty }$，${\displaystyle c-ay^{2}}$ 的符号与 a 相反，而 by 的符号与 b 相同。当令 ${\displaystyle y=-\infty }$ 时，该链的第一部分符号也与 a 相反，而 by 的符号与 b 相反。最终，-c 的符号总与 c 相反。

现在假设 f 是赫尔维茨稳定的。这意味着 ${\displaystyle w(+\infty )-w(-\infty )=2}$（f 的阶数）。由函数 w 的性质，这与 ${\displaystyle w(+\infty )=2}$ 及 ${\displaystyle w(-\infty )=0}$ 相同。因此，a, b 和 c 必须符号相同。因此找到了二阶多项式稳定的必要条件.

在下面，假设最高阶的系数（例如二阶多项式中的 ${\displaystyle a_{2}}$）为正。如果有必要，总可以将该多项式乘以 ${\displaystyle -1}$ 得到。

• 对于二阶多项式 ${\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$，如果所有系数都满足 a_1，2.....n 符号相同，则所有根都在左半平面（特征方程为 ${\displaystyle P(s)}$ 的系统稳定）.
• 对于三阶多项式 ${\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$，所有系数都满足 ${\displaystyle a_{n}>0}$，并且 ${\displaystyle a_{2}a_{1}>a_{3}a_{0}}$
• 对于四阶多项式 ${\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$，所有系数都满足 ${\displaystyle a_{n}>0}$，并且 ${\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{4}a_{1}}$ 且 ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}>a_{4}a_{1}^{2}+a_{3}^{2}a_{0}}$
• 一般地，劳斯稳定性判据要求劳斯表的第一列所有元素符号相同。

满足上述判据的系统称为闭环稳定系统，否则会由于第一列元素符号改变而不稳定。

当难以求得高阶特征多项式的根的时候，可以用表格的方法来确定稳定性。对一个 n 阶多项式

• ${\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}$

该表格由 n + 1 行，结构如下：

${\displaystyle a_{n}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	${\displaystyle a_{n-4}}$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-3}}$	${\displaystyle a_{n-5}}$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle b_{3}}$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$

其中元素 ${\displaystyle b_{i}}$ 和 ${\displaystyle c_{i}}$ 可以计算如下：

• ${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-2i-1}}}{a_{n-1}}}.}$
• ${\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-2i-1}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}$

算完之后，第一列中的符号数的变化将是非负极点的数目。

在第一列中，有2个符号的变化（0.75 → −3，以及 −3 → 3），因此，有2个非负的根，系统是不稳定的。

有时虚轴上的极点会造成临界稳定的情形。在那种情形中，“劳斯表”的系数一整行都会变为零，因而不能进一步求解出符号的改变了。然后另一种方法可以发挥作用。含有零的这一行的上面一行叫做“辅助多项式”。

• ${\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}$

可得以下的表格：

在这个例子中，辅助多项式为 ${\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16.\,}$ 仍为零。下一步是对上面的方程求导，得到下面的多项式。${\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}}$。包含零的行现在变为 "8" 和 "24"。使用这些值继续建立劳斯表，就会得出虚轴上的两个点。这两个虚轴上的点是边缘稳定性的主要原因。[4]