符号函数

用艾佛森括號定義：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]}$

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

${\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)|x|}$

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}}$

符號函數是絕對值函數的導數：

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x}$

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：

${\displaystyle {d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x)}$

它和單位步階函數的關係：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H_{1/2}(x)-1}$

符號函數可以推廣到複數：對於任意${\displaystyle z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}}$，

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$

对于任何z ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} }$，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：

${\displaystyle \operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,}$

其中arg表示辐角。
出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：

${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=\operatorname {sgn}(0+0i)=0.}$

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}}$

即是在一四象限及 xy 轴正半轴為1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点為0。
对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$