约瑟夫·刘维尔

刘维尔认真研究了莱布尼茨、约翰·伯努利和欧拉的著作，尽可能地扩展了微分和积分的概念，建立了任意阶导数的理论。

1832年和1873年，刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，作为对阿贝尔和拉普拉斯等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论的整理，并给出了初等函数的分类。初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。1844年，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从卡爾·雅可比的定理（单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数）出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。围绕双周期性，刘维尔提出以下定理：

• 刘维尔第一定理：在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；
• 刘维尔第二定理：椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处留数之和为0；
• 刘维尔第三定理：n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；
• 刘维尔第四定理：在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。

刘维尔和施图姆在1830年代一起研究了热传导的微分方程，创造了逐次逼近法。随后他研究了更一般的二次微分方程，以及确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数的问题，得到了许多重要结论。

刘维尔对数论问题产生兴趣始于费马大定理。1840年，他将费马的问题作了转化，证明方程${\displaystyle x^{n}+y^{n}=w^{n}}$的不可解性意味着${\displaystyle x^{2n}-y^{2n}=2x^{n}}$的不可解性。之后又研究了e的超越性质，建立了有关代数数丢番图逼近的一个基本定理，并由此构造了刘维尔数，首次证明了超越数的存在性。

从1856年开始，刘维尔基本放弃了其他方面的数学研究，把精力投入到数论领域。在此后的十年中，他在《纯粹与应用数学杂志》上发表了18篇系列注记，未加证明地给出了许多一般公式，为解析数论的形成奠定了基础；此外还发表了近200篇短篇注记，讨论了素数性质和整数表示为二次型的方法等特殊问题。