組合技巧

加法原理是以下直觀結論：若有兩類方法做某事，甲類${\displaystyle a}$種，乙類${\displaystyle b}$種，且只能用其中一類的一種，則做該事的方法，合共${\displaystyle a+b}$種。用較嚴謹的語言，兩個不交集的基數之和，等於其並集的基數。

乘法原理是另一個直觀結論，斷言：若有甲乙兩事，甲事有${\displaystyle a}$種方法，乙事有${\displaystyle b}$種方法，則合共有${\displaystyle a\cdot b}$種方法做完全部兩事。

三個集合兩兩相交的文氏圖

容斥原理用多個集合各自的大小，及其任何組合之交的大小，表示出該些集合並集的大小。對於僅得兩個集合的情況，容斥原理斷言：兩集合${\displaystyle A,B}$之並${\displaystyle A\cup B}$的大小，等於${\displaystyle A}$與${\displaystyle B}$大小之和，減去交集${\displaystyle A\cap B}$的大小（因為該些元素重複數了兩次）。

對於有${\displaystyle n}$個有限集${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$的情況，原理斷言：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&{}\qquad +\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|\\&=\sum _{\begin{smallmatrix}I\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}\\I\neq \varnothing \end{smallmatrix}}(-1)^{|I|-1}\left|\bigcap _{i\in I}A_{i}\right|.\end{aligned}}}$

除法原理講述，若有一事要用某輔助程序就能完成，而有${\displaystyle n}$種方式做該輔助程序，但對於原來的事而言，每種解決方法對應輔助程序的${\displaystyle d}$種方法，則原來的事合共有${\displaystyle n/d}$種方法。

要證明兩類物件數量相等時，可以用雙射法，即構造兩類物件的集合之間的双射（一一對應關係）。

算兩次是證明恆等式的技巧，方法是分別證明左右兩式各自數算同一個集合的元素個數。

抽屜原理斷言，若${\displaystyle a}$件物放入${\displaystyle b}$個抽屜，而${\displaystyle a>b}$，則必有某抽屜內放有多於一件物。此原理廣泛用於存在性證明，即證明具某組合性質的物件存在，但不舉出例子。

特異元素法是刻意將集合中的某元素與其他元素區分，視為特殊，於是所有子集可以分為包含該特殊元素與不包含該特殊元素兩類。如此，有時能化簡問題。