群论

置换群是第一类被系统研究的群。对给定的集合${\displaystyle X}$，${\displaystyle X}$到自身的一些双射（通常叫做置换）的集合${\displaystyle G}$如果在复合运算和求逆运算下封闭，那么称${\displaystyle G}$是一个作用于${\displaystyle X}$上的群。如果${\displaystyle X}$包含${\displaystyle n}$个元素而${\displaystyle G}$包含所有可能的置换，那么${\displaystyle G}$被称为对称群${\displaystyle S_{n}}$。一般地，任何置换群都是${\displaystyle X}$的对称群的子群。凯莱定理表明，通过构造左正规表示，任何一个群都可以视作自身上的一个变换群。

例子：李群

如果集合${\displaystyle A}$的所有一一变换作成群，则称为${\displaystyle A}$的一一变换群或对称群。 设${\displaystyle G}$是一个非空集合，${\displaystyle G}$的元素间定义一种运算“${\displaystyle \circ }$”。如果${\displaystyle G}$满足以下的条件： 1.（运算封闭性）对于${\displaystyle G}$中的任意两个元素${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，恒有${\displaystyle a\circ b\in G}$； 2.（结合律）对于${\displaystyle G}$中的任意三个元素${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，恒有${\displaystyle \left(a\circ b\right)\circ c=a\circ \left(b\circ c\right)}$； 3.（单位元）存在单位元${\displaystyle e\in G}$，使得对于${\displaystyle G}$中的任意元素${\displaystyle a}$，都有${\displaystyle e\circ a=a}$； 4.（逆元）对于${\displaystyle G}$中的任意元素${\displaystyle a}$，存在${\displaystyle a}$的逆元${\displaystyle b\in G}$，使得${\displaystyle b\circ a=e}$。 则称${\displaystyle G}$关于运算“${\displaystyle \circ }$”作为一个群。简称${\displaystyle G}$是一个群。 设${\displaystyle A}$是一个非空集合，${\displaystyle A}$的若干个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为${\displaystyle A}$的一个变换群。

一个集${\displaystyle G}$，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群： ①${\displaystyle G}$中有一个闭合的结合法。这就是说，${\displaystyle G}$中任意两元${\displaystyle a,b}$的结合${\displaystyle c}$仍然是${\displaystyle G}$中元。结合法通常写成乘法，这时${\displaystyle c}$又叫做${\displaystyle a,b}$的积。一般用记号${\displaystyle ab=c}$或${\displaystyle a\cdot b=c}$表示。要注意，积${\displaystyle ab}$虽然是由${\displaystyle a,b}$唯一决定的，但一般它还与${\displaystyle a,b}$的顺序有关。即${\displaystyle ab}$不一定等于${\displaystyle ba}$。 ②${\displaystyle G}$的结合法满足结合律。也就是说，对于${\displaystyle G}$中任意三元${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，有${\displaystyle \left(ab\right)c=a\left(bc\right)}$。 ③${\displaystyle G}$中有一个（左）单位元${\displaystyle e}$，对${\displaystyle G}$中任意元${\displaystyle a}$，有${\displaystyle ea=a}$。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把${\displaystyle e}$就叫做单位元。 ④对于${\displaystyle G}$中任意元${\displaystyle a}$，在${\displaystyle G}$中有一个满足${\displaystyle a^{-1}a=e}$的（左逆元）${\displaystyle a^{-1}}$，此处${\displaystyle e}$就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，${\displaystyle a}$的左逆元也是右逆元。因此，一般把${\displaystyle a^{-1}}$就叫${\displaystyle a}$的逆元。

设${\displaystyle G}$是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间${\displaystyle G\times G}$到拓扑空间${\displaystyle G}$上的映射${\displaystyle m:\left(x,y\right)\rightarrow x\cdot y}$及从${\displaystyle G}$到${\displaystyle G}$上的映射${\displaystyle f:x\rightarrow x}$都是连续映射，则称${\displaystyle G}$为拓扑群。如果${\displaystyle G}$作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如，${\displaystyle n}$维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群${\displaystyle GL(n,R)}$，再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群；而所有行列式为1的正交矩阵所成的群${\displaystyle SO(n,R)}$是一个紧连通拓扑群。 从拓扑群${\displaystyle G}$到拓扑群H内的映射${\displaystyle f:G\rightarrow H}$，如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么${\displaystyle f}$称为从拓扑群${\displaystyle G}$到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态f是双射, 而且逆映射${\displaystyle f}$也是连续的，那么f称为拓扑群${\displaystyle G}$到拓扑群H上的同构映射，简称“同构”。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。 在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。