环同态

直接从这些定义，我们可以推出：

• f(0) = 0
• f(−a) = −f(a)
• 如果a在R内具有乘法逆元，则f(a)在S内具有乘法逆元，且有f(a⁻¹) = (f(a))⁻¹。
• f的核，定义为ker(f) = {a in R : f(a) = 0}，是R内的一个理想。每一个交换环R内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。
• 环同态f是单射，当且仅当ker(f) = {0}。
• f的像，im(f)，是S的一个子环。
• 如果f是双射，那么它的逆映射f⁻¹也是环同态。在这种情况下，f称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。
• 如果存在一个环同态f : R → S，那么S的特征整除R的特征。这有时候可以用来证明在一定的环R和S之间，不存在环同态R → S。
• 如果R是一个域，则f要么是单射，要么是零函数。（但是，如果f保持乘法单位元，则它不能是零函数）。
• 如果R和S都是域，则im(f)是S的一个子域（如果f不是零函数）。
• 如果R和S是交换环，S没有零因子，则ker(f)是R的一个素理想。
• 如果R和S是交换环，S是一个域，且f是满射，则ker(f)是R的一个最大理想。
• 对于每一个环R，都存在一个唯一的环同态Z → R。这就是说，整数环是环范畴中的始对象。

• 函数f : Z → Z_n，由f(a) = [a]_n = a mod n定义，是一个满射的环同态，它的核为nZ。
• 当n > 1时，不存在环同态Z_n → Z。
• 如果R[X]表示变量为X的所有实系数多项式的环，C表示复数域，则函数f : R[X] → C，由f(p) = p(i)定义（在多项式p中用虚数单位i来代替变量X），是一个满射的环同态。f的核由R[X]内所有能被X² + 1整除的多项式组成。.

• 双射的环同态称为环同构。
• 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。

在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果f:R→S是单同态而不是单射，则它把某个r₁和r₂映射到S的同一个元素。考虑从Z[x]到R的两个映射g₁和g₂，分别把x映射到r₁和r₂；f o g₁和f o g₂是相等的，但由于f是单同态，这是不可能的。

然而，在环范畴中，满射的环同态与满同态是非常不同的。例如，Z ⊆ Q是满同态，但不是满射。

• 同态