菱形九十面體

菱形九十面體可以由不均勻的截角二十面體在所有面上加上角錐，並調整錐高直到加入之角錐的側面與鄰面加入之角錐的側面共面或二面角為零為止來構造，並且確保兩種錐體（加入到截角二十面體所有面上的錐體會有五角錐和六角錐兩種）的側邊邊長相等。這種構造方式在康威多面體表示法中記為j，而截角二十面體在康威多面體表示法中記為tI[7]，則菱形九十面體在康威多面體表示法中可以表示為jtI。如果構造的過程並未強制讓兩種錐體側邊邊長相等，僅受二十面體對稱性的限制，則所形成之立體中的寬菱形會變成箏形。

在康威多面體表示法中，其可以表示為jtI或dakD[8]。

菱形九十面體由兩種菱形組成。其中有60個較寬的菱形和30個較窄的菱形。若菱形九十面體的邊長為單位長，則較寬的菱形寬度為：[1]

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\approx 1.154700538379}$

較寬的菱形長度為：[1]

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\approx 1.632993161855}$

較寬的菱形的對角線比為1比2的平方根[9]，兩個角分別為r = arccos(1/3) = 70.528779°和R = arccos(-1/3) = 109.471221°。[10][4]

而較窄的菱形寬度為：[1]

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0.713644179546}$

較窄的菱形長度為：[1]

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{3}}\approx 1.868344717925}$

較窄的菱形的對角線比為1比黃金比例的平方[9]，約為1:2.6180339887；兩個角分別為r' = ${\displaystyle \arccos \left({\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\right)}$ = 41.810315°和R' = ${\displaystyle \arccos \left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\right)}$ = 138.189685°。[10][4]

菱形九十面體有兩種二面角，分別為較窄菱形面與較寬菱形面的二面角，以及較寬菱形面與較寬菱形面的二面角。其中，較窄菱形面與較寬菱形面的二面角約為157.761度：[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {3{\sqrt {2}}+{\sqrt {10}}}{8}}\right)\approx 2.7534531382196\approx 157.761243907^{\circ }}$

較寬菱形面與較寬菱形面的二面角約為164.4775度：[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 2.87067413313357\approx 164.477512186^{\circ }}$

若菱形九十面體的邊長為單位長，則其體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle A}$為：[1]

${\displaystyle V={\frac {20\left(7{\sqrt {3}}+4{\sqrt {15}}\right)}{9}}\approx 61.3695311951}$[1]

${\displaystyle A=20+40{\sqrt {2}}\approx 76.5685424949}$[11]

菱形九十面體的頂點頂並未共球，因此不存在外接球，而其三種頂點分別共球，分別為三階頂點（3個菱形的公共頂點）共球、五階頂點（5個菱形的公共頂點）共球和六階頂點（6個菱形的公共頂點）共球。這些球面的半徑為：[1]

三階頂點（3個菱形的公共頂點）共球的球半徑為：[1]

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {21}}+{\sqrt {105}}}{6}}\approx 2.4715877434859}$

五階頂點（5個菱形的公共頂點）共球的球半徑為：[1]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {30\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{6}}\approx 2.455617365942}$

六階頂點（6個菱形的公共頂點）共球的球半徑為：[1]

${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 2.61803398874989}$