阿耶波多

阿耶波多曾進行圓周率之估計，並有可能得出圓周率值是無理數的結論。在《阿里亞哈塔曆書》的第二部分，阿耶波多寫道：

原文：

翻譯：

這表示圓周率的值，也就是圓周與直徑的比，是${\displaystyle {\frac {(4+100)\times 8+62000}{20000}}={\frac {62832}{20000}}=3.1416}$，其精確度達5個有效数字。有學者推斷，阿耶波多使用「逼近」（）一詞，可能不僅為了表示這是估計值，而是有意表示他是個無理數。相較之下，在中國，劉徽於公元263年求得一樣的圓周率：${\displaystyle {\tfrac {3927}{1250}}=3.1416}$；在歐洲，圓周率是無理數的證明由约翰·海因里希·朗伯在1761年發表[12]。在《阿里亞哈塔曆書》於公元820年被翻譯成阿拉伯文之後，這個估計值被花拉子米所著之代數書籍中被提及[7]。

在《阿里亞哈塔曆書》中的〈算數〉（）篇第6回，阿耶波多描述三角形的面積計算方式：

原文：

翻譯：

阿耶波多也在該書中討論正弦函數的概念，稱之為「」，字面上為半弦之意。爾後，人們逐漸將其簡稱為「」。爾後其著作從梵文被譯為阿拉伯文，該函數名則被譯成「jiba」。然而，在阿拉伯文書寫體系中母音被省略，於是該詞變成了「jb」。到了12世紀，克雷莫納的杰拉德將該書從阿拉伯文翻譯成拉丁文時，因為「jiba」在阿拉伯文中沒有對應的意義而誤以為該字為「jaib」，意為「口袋」或「襞」。於是便譯為拉丁文的對應詞「sinus」，意為「海灣」，最後便演變為如今正弦函數的英文名「sine」。餘弦函數（，英語：）亦是如此[14][15]。

在《阿里亚哈塔历书》中，阿耶波多推導出以下平方與立方级数求和之結果[16]：

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

以及

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

阿耶波多認為，月球與行星並不會自行發光，而是反射太陽光。此外，他也解釋了日月食的成因，說明日食是月球落在地球上的陰影、月食是地球落在月球上的陰影造成的。他也討論了地球陰影的大小和範圍，並計算出日月食的規模。後事的印度天文學家更基於阿耶波多的基礎上，將預測做得更加精確。他們的計算是如此的精確，以至於18世紀科學家紀堯姆·勒讓蒂爾造訪印度本地治里時發現印度人對1765年8月30日月食的持續時間只比實際短了41秒，而他手上的預測表[lower-alpha 2]則長了68秒[7]。

若使用現今公制單位，阿耶波多當時求得之恆星日[lower-alpha 3]長度為23小時56分4.1秒[17]，而現代測得之精確值為23小時56分4.091秒。另外，阿耶波多求得之恆星年[lower-alpha 4]長度為365天6小時12分30秒（365.25858天）[7]^:13，只與現代測量值（365.25636天）相差3分20秒[18]。

• Cooke, Roger. . Wiley-Interscience. 1997. ISBN 0-471-18082-3.
• Clark, Walter Eugene. . University of Chicago Press; reprint: Kessinger Publishing (2006). 1930. ISBN 978-1-4254-8599-3.
• Kak, Subhash C. (2000). 'Birth and Early Development of Indian Astronomy'. In Selin, Helaine (编). . Boston: Kluwer. 2000. ISBN 0-7923-6363-9.
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, H. . Springer-Verlag, New York. 1994. ISBN 0-387-94107-X.