类型论

在類型論中，每一個數學對象都有其所屬的類型（籠統地來說，這個類型的獨一無二的）。每次加入新的變數時，必須同時指定其所屬的類型。舉例說，「設x為自然數」可寫作

${\displaystyle x:\mathbb {N} }$

讀作「項x的類型是${\displaystyle \mathbb {N} }$」。這在形式上似乎和集合論中的${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$（「x是集合${\displaystyle \mathbb {N} }$的元素」）無所差異，但後者是一階邏輯中具備真值的一條「命題」，而前者則是一個純粹的「斷言」，並不是一條有待證明的命題。[1]

每一種類型論都指定了如何建構新類型（及其項）的一套規則，通過這些規則所得出的式子都是合理的斷言，不須證明。以下歸納每一個新類型定義的組成部分：[1]

1. 建構規則：如何建構符合某種格式的新類型。例如，當A和B分別為類型的時候，可以建構有序對類型A × B，亦可建構函數類型A → B。
2. 建構式，或稱引入規則：如何建構屬於這一類型的項。例如，從a : A和b : B這兩個項，就可以建構A × B的項，記作(a, b)。
3. 消去式，或稱消去規則：如何使用屬於這一類型的項。例如，設A, B, C為類型，對應於每一個函數g : A → (B → C)，都有一個函數f : A × B → C。這條規則指定了如何使用A × B的項。
4. 運算規則：消去式如何應用在建構式上。例如，設a, b, c分別為A, B, C的項，則f( (a, b) )定義為等同g(a)(b)。
5. 唯一原理（可有可無）：規定指入某個類型或從某個類型指出的函數是唯一的。比如，「A × B的每一個項都可以唯一地表達為(a, b)」。在設計類型論的時候，可以把唯一原理列入類型的建構規則之中，亦可省略之，而視其為有待證明的命題。

以上是類型論的基本規則，可理解為類型論的語法，它並不包含數學公理。這和集合論有所不同：除了一階邏輯本身的推理規則以外，集合論還加入了一組有關集合的公理（如策梅羅-弗蘭克爾公理系統）。最基本的類型論不需公理即可當做邏輯和數學推理使用，但在有需要時，同樣也可以加上額外的公理。類型論中的公理是不通過建構規則而接納的斷言，因此有些公理會產生無法通過運算規則簡化的式子，從而影響該類型系統的可計算性。

以下列出幾種常見的基本類型，除了全類和（依賴）函數類型以外，它們都是最後介紹的歸納類型的特例。這些類型既可以表達數學結構，又可以表達命題。類型的項可以是某個數學結構的成員，也可以是某條命題的證明。這就是命題為類型原理。

類型論規定，在介紹新的符號時，必須馬上指定它的類型，如「設${\displaystyle n:\mathbb {N} }$」。同樣，當我們說「設A為類型」的時候也一樣要指定A自己的類型。然而，A本身就已經是一個類型，那麼類型的類型是甚麼？類型論中有「全類」的概念，每個全類的項都是類型。由於全類本身也是一個類型，如果所有類型都屬於同一個全類的話，就不可避免產生吉拉爾悖論（羅素悖論在類型論中的體現）。因此，類型論一般都會假設存在無限層全類，記作𝒰₀, 𝒰₁, 𝒰₂，如此類推。每一層全類都是它上一層全類的項：𝒰_i : 𝒰_i+1。「設A為類型」的意思其實是「設A : 𝒰_i」，其中層級i可以明確指定，但一般可以從前文後理推斷出來，所以下標往往省略不寫。同理，當我們說「對於所有類型A」，意思其實是「對於所有第i層全類下的類型A」。有些類型系統規定，𝒰_i下的所有項也是𝒰_i+1的項，這種累積性屬性對設計一個類型系統來說有利有弊，在此並不詳述。

以上解釋的是羅素式全類。塔斯基式全類是另一種繞過悖論的方法，它主張每個A : 𝒰要經過一個明確的強制轉換函數才能成為一個類型El(A)。

類型論將函數視為一種基礎類型，而不像集合論一樣定義為笛卡爾積的符合某些規定的子集。每一個函數都屬於一個類型：假設A, B為類型，可以建構函數類型A → B。要定義這一類型的某個項，共有兩種方法。第一種是直接定義：先給函數取名，例如f，然後對於任意項a : A，將f(a)定義為一條可能含有a並且類型為B的公式Φ。f的定義可以讀成「給我任何一個a : A，我都可以給你一個Φ : B」。另一種方法是λ抽象化，直接寫(λ (a : A), Φ) : A → B，避開給函數取名。

從命題為類型原理的角度來看，函數可以用來表達邏輯蘊涵。假如p, q分別是代表命題的類型，那麼p → q就代表了「當p為真，則q為真」這一命題。要證明此命題，對於p的每個項（即證明），須給出q的一個項。

依賴函數類型，又稱Π類型，是普通函數類型的推廣，使得函數的到達域類型可以依賴於輸入值。對於任何類型A和一族類型B : A → 𝒰（即對於任何a : A都有一個可能不同的類型B(a)），都可以建構依賴類型

${\displaystyle \prod _{a:A}B(a).}$

要定義依賴類型的某個項（即某個依賴函數），同樣有兩種方法。直接定義：取名f，對於任意項a : A，將f(a)定義為一條可能含有a並且類型為B(a)的公式Φ。λ抽象化：直接寫

${\displaystyle \lambda (a:A),\Phi$ :\prod _{a:A}B(a).}

假如A是任意類型而p : A → 𝒰是一族代表命題的類型，那麼${\displaystyle \prod _{a:A}p(a)}$就代表了「對於所有a : A，p(a)為真」這一命題。

空類型記作⊥或0，它沒有任何相應的建構式，也就是說，它沒有任何項。空類型的消去規則是，對於任何類型A，都有一個函數false_elim : ⊥ → A。根據命題為類型原理，空類型可以詮釋為「假」命題，它不存在任何證明。設p為代表命題的類型，則p → ⊥代表「非p」這一命題，記作¬p。假設⊥有一個項h，而p為任何代表命題的類型，那麼通過空類型的消去規則就可以得出false_elim h : p。這意味著無論甚麼命題都可以證明是真的，是為爆炸原理。

單值類型記作⊤或1，它只有一條建構式，因此只含唯一的單個項，記作「∗ : 1」。假如有一個函數f : 1 → A，則可以說A有一個項f(∗)，亦稱「A是有棲居對象的類型」（類型論區分「有棲居對象」和「非空」這兩個概念）。

雙值類型記作${\displaystyle \mathbb {B} }$或2，它有兩條構件式，因此有兩個項，記作「0₂, 1₂ : 2」。雙值類型就是函數式編程中的布林，其兩個項可以分別理解為「如果假」和「如果真」兩個情況。函數f : 2 → A可以理解為「如果真，輸出f(1₂) : A，否則輸出f(0₂) : A」。

積類型所表達的是有序對的概念。從兩個類型A, B可以建構出它們的積類型A × B。它有一條建構式：從兩個項a : A和b : B可以建構出積類型的項(a, b) : A × B。對應於每一個函數g : A → (B → C)，都有一個函數f : A × B → C。

積類型可以詮釋為邏輯與：假如類型A, B, C都是命題，則函數f : A × B → C可以理解為「假如同時有A的證明和B的證明，就可以用f得出C的證明」。更簡短地說，「A與B為真時，則C為真」。

餘積類型所表達的是不交並的概念。從兩個類型A, B可以建構出它們的餘積類型A + B。它有兩條建構式：從一個項a : A可以建構出inl(a) : A + B，從一個項b : B則可以建構出inr(b) : A + B。要建構函數f : A + B → C，須指定兩個函數g₀ : A → C和g₁ : B → C，使得f(inl(a))定義為g₀(a)，f(inr(b))定義為g₁(b)。

餘積類型可以詮釋為邏輯或：假如類型A, B, C都是命題，則函數f : A + B → C可以理解為「假如有A的證明，或者有B的證明，只需其一就可以用f得出C的證明」。更簡短地說，「A或B為真時，則C為真」。

上文介紹的雙值類型可視為餘積類型的特例，等同於1 + 1。

依賴對類型，又稱Σ類型，是積類型的推廣，使得每個項(a, b)中的第二個對象b的類型可以依賴於a。對於任何類型A和一族類型B : A → 𝒰，可以建構依賴對類型

${\displaystyle \sum _{a:A}B(a).}$

它的項的格式是(a, b)，其中a : A，而b : B(a)。

假如A是任意類型而p : A → 𝒰是一族代表命題的類型，那麼${\displaystyle \sum _{a:A}p(a)}$就代表了「存在a : A使得p(a)為真」這一命題。值得注意的是，這種存在比經典數學中的存在更強，因為類型論要求我們明確提供見證p(a)為真的那個項a，而經典數學則無此要求（比如可以婉轉地證明「不可能不存在這樣的a」）。這意味著，最純粹的類型論表達的是一種構成主義數學。通過引入各種公理，如排中律和選擇公理，類型論仍然可以靈活地表達非構成主義的經典數學。

類型論一般按照皮亞諾算術來定義自然數${\displaystyle \mathbb {N} }$。它共有兩條建構式：

• ${\displaystyle 0:\mathbb {N} }$，自然數的起始點
• ${\displaystyle {\mathsf {succ}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$，自然數的後繼函數

任何自然數，要麼是0，要麼是某個自然數的後繼（即等於${\displaystyle {\mathsf {succ}}(n)}$，其中${\displaystyle n:\mathbb {N} }$）。一、二、三分別表達為${\displaystyle {\mathsf {succ}}(0)}$、${\displaystyle {\mathsf {succ}}({\mathsf {succ}}(0))}$、${\displaystyle {\mathsf {succ}}({\mathsf {succ}}({\mathsf {succ}}(0)))}$，如此類推。

要定義某個函數${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$，須指定一個起始項g₀ : A以及一個「下一步」函數${\displaystyle g_{\mathsf {succ}}:\mathbb {N} \to A\to A}$，使得f(0)定義為g₀，並且對於任何${\displaystyle n:\mathbb {N} }$，${\displaystyle f({\mathsf {succ}}(n))}$定義為${\displaystyle g_{\mathsf {succ}}(n)(f(n))}$，也就是以0為起始點利用數學歸納法做一個遞歸性的定義。比如，以下是「奇偶」函數${\displaystyle {\mathsf {oddeven}}:\mathbb {N} \to {\boldsymbol {2}}}$的定義：

• g₀定義為0₂
• ${\displaystyle g_{\mathsf {succ}}:\mathbb {N} \to {\boldsymbol {2}}\to {\boldsymbol {2}}}$的定義：對於所有${\displaystyle n:\mathbb {N} }$，
  • ${\displaystyle g_{\mathsf {succ}}(n)(0_{\boldsymbol {2}})}$定義為${\displaystyle 1_{\boldsymbol {2}}}$
  • ${\displaystyle g_{\mathsf {succ}}(n)(1_{\boldsymbol {2}})}$定義為${\displaystyle 0_{\boldsymbol {2}}}$

這裡我們也用到了雙值類型2的消去式。其他常見函數，例如「雙倍」函數${\displaystyle {\mathsf {double}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$以及加法${\displaystyle +:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$等二元運算都有類似的定義。

類型論有至少三種可以理解為「等同」的概念。第一種是「符號等同」，又稱「從定義上等同」，例如用1定義為代替${\displaystyle {\mathsf {succ}}(0)}$的符號，這記作${\displaystyle 1:\equiv {\mathsf {succ}}(0)}$。自然數一節中的「定義為」就屬於此種等同，也可以用:≡表示。這種等同是為了給符號賦予含義，但它本身不含任何額外的數學意義。

第二種是「斷言等同」，即在展開兩個符號的定義，並用類型論建構規則運算以後，兩者的公式完全吻合，記作「a ≡ b」。例如，通過oddeven的定義，可做運算：

${\displaystyle {\mathsf {oddeven}}(1)\equiv g_{\mathsf {succ}}(0)({\mathsf {oddeven}}(0))\equiv g_{\mathsf {succ}}(0)(g_{0})\equiv g_{\mathsf {succ}}(0)(0_{\boldsymbol {2}})\equiv 1_{\boldsymbol {2}}.}$

若a ≡ b，則在任何式子中出現的a都可以直接替換為b。此種等同屬於斷言，並不是邏輯命題，而是重複應用類型論語法規則後所得的符號等同。在類型論中，不允許說「假設a ≡ 1」，因為在設符號${\displaystyle a:\mathbb {N} }$的時候，如果還沒有給n賦予定義值，那就應該做定義「a :≡ 1」；反之如果n已經被賦予定義值（比如1），那就輪不到我們假設其數值。假如將類型論的規則視為某種代數系統，那麼斷言等同就正是該系統中的普通等同關係，類似於一個群的元素之間的等同。

第三種是「命題等同」。有時，兩條公式就算在展開定義和運算之後，仍然不完全吻合，但它們具有相同的語義。舉例來說，對於所有${\displaystyle n:\mathbb {N} }$，n + 1和1 + n這兩條公式無論如何運算都不會斷言等同，因為自然數加法的定義本身就區分先後順序。故此，我們不能寫「對於所有${\displaystyle n:\mathbb {N} }$，n + 1 ≡ 1 + n」。然而，對於任何特定的自然數n，例如2，我們可以通過運算得出「2 + 1 ≡ 1 + 2」。這種從定義上不同但從含義上相同的現象，正正就是內涵和外延之分，邏輯學家戈特洛布·弗雷格稱之為意涵與指稱之分。

針對這第三種等同關係，類型論有一種意義重大的「等同類型」。對於任何兩條類型相同的公式p, q : A，都有一個類型Id_A(p, q)，指的是「p等於q」這一命題。在不怕混淆的情況下，可以使用更熟悉的寫法「p =_A q」，其中類型下標A往往可以省略。根據命題為類型原理，要證明此命題，就必須提供它的項（此命題為真的見證物）。等同類型只有一條建構式：對於任何項a : A，可以建構refl_a : a =_A a，稱為「自反」。由於斷言等同的公式都可以隨意互換，所以只要有a ≡ b，那就自動有a =_A b。要證明「對於所有${\displaystyle n:\mathbb {N} }$，n + 1 = 1 + n」這一命題，就必須給出這樣的項：

${\displaystyle {\mathsf {add\_one\_eq\_one\_add}}:\prod _{n:\mathbb {N} }(n+1=_{\mathbb {N} }1+n).}$

要建構這樣的項，須展開1和加號的定義，然後結合利用依賴類型、自然數和等同類型的建構和消去式。再舉一例，${\displaystyle 0=_{\mathbb {N} }1}$也是一條合乎語法的等同類型，但它所代表的是一條假命題，所以它不含任何項。

歸納類型是定義新類型的一套規則，以上介紹的0、1、2、${\displaystyle \mathbb {N} }$、A × B、a =_A b等都是其特例。要定義一個歸納類型，必須列出它的建構式。每一條建構式不但可以直接輸出該類型的項（如∗ : 1），它的輸出項還能依賴於某個變量（如inl : A → A + B），甚至歸納性地依賴於該類型自己的項（如${\displaystyle {\mathsf {succ}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$），從而建構出無限大的數學結構。歸納類型代表了由它的建構式所自由生成的結構，也就是說，它的項正好都是從無開始，通過重複應用任一條建構式後所得的。本文不試圖詳列歸納類型的嚴格定義。

舉例來說，我們可以用歸納類型來定義整數${\displaystyle \mathbb {Z} }$。它有兩條建構式：

• ${\displaystyle {\mathsf {ofNat}}:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$，從每一個自然數可建構一個對應的非負整數
• ${\displaystyle {\mathsf {negSucc}}:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$，從每一個自然數可建構一個對應的負整數（理解為−(n + 1)）

要建構某一個整數，須先指定用哪一條建構式，然後指定一個自然數。

再以幺半群為例，它只有一條比較長的建構式，為方便閱讀以文字寫出：

• 一個類型G，一個乘法函數G × G → G（記作(a, b) ↦ a * b），一個單位元e : G，以及以下兩項條件的證明：
  • 對於任何x : G，x * e = x且e * x = x
  • 對於任何x, y, z : G，x * (y * z) = (x * y) * z

要建構某一個幺半群，只須提供這單一條建構式所規定的所有項。

在這樣的框架下，類型的項可以想象成空間裡的點，而兩個項之間等同則可以想象成兩個點之間有一條路徑。假如類型A中有兩項等同p : a =_A b，這可以理解為「p是始於a而終於b的路徑」。等同類型的對稱性意味著存在p⁻¹ : b =_A a，可以理解為「p⁻¹是始於b且終於a的路徑」。當然，每個項都有自己的自反路徑refl_a : a =_A a，可以理解為停留在a上不動的路徑。

利用等同類型的遞移關係，可以從p : a =_A b和q : b =_A c得出p ∘ q : a =_A c。理解為路徑的話，路徑p和路徑q可以複合（串聯）起來形成一條始於a而終於c的路徑p ∘ q。假如我們複合p和它的對稱，就會得出p⁻¹ ∘ p : a =_A a。不過，這一條路徑往b點跑了一個來回，並不完全等同refl_a，儘管兩者都是同一條命題的證明。這體現了同倫類型論所強調的「證明相關性」。

從拓撲空間的角度來看，由於p⁻¹ ∘ p沿著同一條線來回跑，所以它可以連續「縮小」至原地不動的refl_a，而不怕中途被某個「孔」勾住。這種路徑與路徑之間的連續變換稱為同倫，亦可視為始於p⁻¹ ∘ p而終於refl_a的一條二維路徑，記作

p⁻¹ ∘ p =_{a =A a} refl_a.

循同樣的規律，很自然地有二維路徑之間的三維路徑（同倫間的同倫），三維路徑之間的四維路徑，等等。

從抽象代數的角度來看，路徑之間的複合可以視為乘法，自反路徑refl_a可以視為單位元，而任何路徑p的對稱p⁻¹可以視為反元素。這類似於群的結構，但有兩點差異。第一，不是任何兩條路徑都可以複合，因為其中一條的終點必須是另一條的起點，意味著這只是一個廣群而不是群。第二，p⁻¹ ∘ p只是和refl_a同倫等價而不是完全等同，因而反元素（結合律同理）只是在同倫意義上得到滿足，故此只能說是弱廣群。整體來說，這種具有無限層的類型結構形成弱∞廣群。

任何函數f : A → B都會將命題等同的兩個項映射至兩個命題等同的項，從范疇論的角度可以說類型論中的函數都是函子，而從拓撲學的角度則可以說每個函數都是連續的。

拓撲學的纖維化和范疇論的等價等等概念同樣也有類型論的類比。

在拓撲學中，假如兩個空間是同倫等價的，那麼它們的許多拓撲性質也會是相同的。因為同倫這一概念在類型論中也有對應的「等價」概念，所以我們可以寫下「類型A, B : 𝒰是等價的」這樣的命題，記作A ≃ B。

在一般「非形式化」的數學推理當中，也就是不糾結於數學基礎細節的時候，數學家往往會濫用符號，隨意互換兩個等價但嚴格來說不完全等同的對象。例如，群論所研究的是同構意義上不同的群的性質，而拓撲學所研究的是同胚意義上不同的空間的性質。換言之，數學家一般並不在乎兩個等價結構之間定義上的細節差異。例如，實數到底是以戴德金分割還是柯西序列來表示並不重要，更重要的是它的抽象性質，特別是在與另一個等價結構互換以後仍然不變的性質。傳統的集合論把所有結構都以層層相疊的集合來表達，無法做這種符合結構主義的數學推理。

類型論對類型的定義恰好遵循結構主義，但在「兩個等價的類型可以互換」這一問題上，我們只能對於每一對等價類型A ≃ B逐一證明。弗沃特斯基因此提出在純粹的類型論上加入一條新的公理，稱為一價公理：

(A =_𝒰 B) ≃ (A ≃ B),

可以讀成

「等同」等價於「等價」。

一價公理推廣了同一個全類以下兩個類型之間的等同關係。它要求同倫類型論下的所有定義都不違背類型間的同倫等價。對於任何同倫等價e : A ≃ B和任何項t : P(A)，其中P(A)是利用A建構出的類型，都可得出一個對應的項e^∗t : P(B)。

以一價公理作為數學基礎，終於能夠對常用的數學推理手法做嚴謹的形式化表述。

更高歸納類型是在同倫類型論的框架下對歸納類型的推廣。更高歸納類型的建構式不但可以像普通歸納類型一樣建構新的項（點），它還能夠建構新的等同類型的項（兩點之間的路徑）。例如，我們可以定義拓撲學意義的圓${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$，它有兩條建構式：

• ${\displaystyle {\mathsf {base}}:\mathbb {S} ^{1}}$，圓的基點
• ${\displaystyle {\mathsf {loop}}:{\mathsf {base}}=_{\mathbb {S} ^{1}}{\mathsf {base}}}$，從基點至基點的路徑

這第二條建構式所建構的是有別於常值路徑${\displaystyle {\mathsf {refl}}_{\mathsf {base}}:{\mathsf {base}}=_{\mathbb {S} ^{1}}{\mathsf {base}}}$的另一條（一維）路徑，為這一類型賦予了不平凡的拓撲結構。

再舉一例，我們可以定義拓撲學意義的球面${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$，它同樣有兩條建構式：

• ${\displaystyle {\mathsf {base}}:\mathbb {S} ^{2}}$，球面的基點
• ${\displaystyle {\mathsf {surf}}:{\mathsf {refl}}_{\mathsf {base}}=_{{\mathsf {base}}=_{\mathbb {S} ^{2}}{\mathsf {base}}}{\mathsf {refl}}_{\mathsf {base}}}$，非平凡的二維路徑

儘管定義裡只有基點和一條二維路徑，但是可以證明${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$還有一條非平凡的三維路徑，其起點和終點都是refl_reflbase。這就是霍普夫纖維化，同時印證了，更高歸納類型的簡單定義也可以創造出複雜而不易預見的拓撲結構。

廣義地來說，更高歸納類型的建構式可以建構任何更高維度的路徑（同倫）。

• 简单类型λ演算，一种高阶逻辑；
• 直觉类型论；
• 系统F;
• LF经常用来定义其他类型论；
• 构造演算及其衍生理论。

• Automath；
• ST类型论;
• 组合逻辑的一些形式；
• λ立方体中定义的其他；
• 其他有类型λ演算;
• 其他纯类型系统。

• 正在研究中的同伦类型论