科恩-麥考利環

若交換局部環 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ 滿足 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{\mathfrak {m}}(R)=\dim R}$，其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数，則稱之為Cohen-Macaulay環。此性質在局部化之下不變。

一般而言，若交換環 ${\displaystyle R}$ 對所有素理想的局部化皆為Cohen-Macaulay環，則稱之為Cohen-Macaulay 環。

若一個概形的所有局部環皆為Cohen-Macaulay環，稱之為Cohen-Macaulay概形。

• 正則局部環皆為 Cohen-Macaulay 環。
• Gorenstein環皆為 Cohen-Macaulay，其中重要的特例是完全交環。
• 有理奇點對應到 Cohen-Macaulay 環，卻不一定是 Gorenstein 環。
• 阿廷環皆為 Cohen-Macaulay 環。
• 設 ${\displaystyle k}$ 為域，冪級數環 ${\displaystyle k[[t]]}$ 的一維子環 ${\displaystyle k[[t^{2},t^{5}]]}$ 並非正則環，而仍屬 Gorenstein 環。
• 承上，${\displaystyle k[[t^{3},t^{4},t^{5}]]}$ 並非 Gorenstein 環，而仍屬 Cohen-Macaulay 環。
• 一般而言，任何一維的諾特整環都是 Cohen-Macaulay 環。

Cohen-Macaulay 條件的一種詮釋見諸凝聚對偶性，其中模的「對偶化對象」本屬於某個導範疇，當考慮的環是 Cohen-Macaulay 環時，該對象可由某個模代表。Gorenstein 條件則更精細，它斷言此對偶對象由可逆層代表。正則性最強，它對應於交換環譜在該點的平滑性。就幾何觀點，Gorenstein 與 Cohen-Macaulay 條件是平滑性的逐步推廣，在此框架下可以證明較廣的幾何定理。

設 ${\displaystyle R}$ 為諾特環，${\displaystyle I\subset R}$ 為其理想。若對每個 ${\displaystyle R/I}$ 的相伴素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 皆有 ${\displaystyle \mathrm {ht} (I)=\mathrm {ht} ({\mathfrak {p}})}$，則稱 ${\displaystyle I}$ 為純粹的。若每個能由 ${\displaystyle \mathrm {ht} (I)}$ 個元素生成之理想 ${\displaystyle I}$ 都是純粹的，則稱 ${\displaystyle R}$ 滿足純粹性定理。一個諾特環 ${\displaystyle R}$ 滿足純粹性定理若且唯若它是 Cohen-Macaulay 環。

• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings Trans. Amer. Math. Soc. , 59 (1946) pp. 54–106
• V.I. Danilov, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer), ISBN 0-387-94268-8 (hardcover), ISBN 0-387-94269-6 (soft cover)
• F.S. Macaulay, The algebraic theory of modular systems , Cambridge Univ. Press (1916)

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• MathWorld 頁面 （页面存档备份，存于）