克鲁尔维数

設交換環 ${\displaystyle R}$ 中有 ${\displaystyle n+1}$ 個素理想 ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$，使得

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$

則稱之為長度為 ${\displaystyle n}$ 的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。${\displaystyle R}$ 的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是 ${\displaystyle R}$ 中素理想的最大可能高度。

根據定義， ${\displaystyle R}$ 的維數與對素理想的局部化有下述關係

${\displaystyle \dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$ 表 ${\displaystyle R}$ 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$。當 ${\displaystyle R}$ 為鏈環時，對各極大理想的局部化皆有相同維數；代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例如在環 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]}$ 中可考慮以下的素理想鏈

${\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}$

因此 ${\displaystyle \dim(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]\geq 3}$；事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質：

• 零維的整環是域。
• 離散賦值環與戴德金整環是一維的。
• 若 ${\displaystyle \dim R=k}$，則 ${\displaystyle k+1\leq \dim R[X]\leq 2k+1}$；當 ${\displaystyle R}$ 為諾特環時則 ${\displaystyle \dim R[X]=k+1}$。
• 若 ${\displaystyle k}$ 為域，則 ${\displaystyle \dim k[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$。
• 若 ${\displaystyle B}$ 為 ${\displaystyle A}$-代數，同時又是有限生成的 ${\displaystyle A}$-模，則 ${\displaystyle \dim B=\dim A}$。

在代數幾何中，一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界；對於仿射概形 ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} A}$，則回歸到 ${\displaystyle \dim X=\dim A}$。

設 ${\displaystyle k}$ 為域，${\displaystyle R}$ 是有限型 ${\displaystyle k}$-整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理，存在非負整數 ${\displaystyle d}$ 及 ${\displaystyle R}$ 中彼此代數獨立的元素 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ，使得 ${\displaystyle R}$ 是有限生成之 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$-模，因此 ${\displaystyle \dim R=d}$。從幾何觀點看，${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$ 此時是 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$ 的有限分歧覆蓋，因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀：

1. ${\displaystyle \dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d}$
2. 若 ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ 是分歧覆蓋，則 ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$。

特別是當 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ 時，代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9