二次函数

当函数与${\displaystyle x}$轴有两个交点时，设这两个交点分别为 ${\displaystyle A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)}$，由根与系数的关系得出[lower-alpha 4]：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$和${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}$

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为${\displaystyle (h,k)\,\!}$。用配方法，可以把一般形式${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$化为：

$${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$$

[2][3] 因此在一般形式中，抛物线的顶点是：

$${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}$$

如果二次函数是因子形式${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$，则两个根的平均数

$${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}$$

就是顶点的${\displaystyle x}$坐标，因此顶点位于

$${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}$$

${\displaystyle a<0\,\!}$时，顶点也是最大值；${\displaystyle a>0\,\!}$时，则是最小值。 经过顶点的竖直线

$${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$$

又称为抛物线的对称轴。

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：

$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}$$

然后，求出${\displaystyle f'(x)\,\!}$的根：

$${\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}$$

因此，${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}$是${\displaystyle f(x)\,\!}$的${\displaystyle x\,\!}$值。现在，为了求出${\displaystyle y\,\!}$，我们把${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$代入 ${\displaystyle f(x)\,\!}$：

$${\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}$$

所以，最大值或最小值的坐标为：

$${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}}$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle f(x)}$有最大或最小值${\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$。

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}$，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,}$，则当${\displaystyle A>0}$时函数具有最小值，当${\displaystyle A<0}$具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 ${\displaystyle (x_{m},y_{m})\,}$ 取得，其中：

$${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}$$

$${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}$$

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$且${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}$，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$且${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,}$，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当${\displaystyle A>0}$时取得最大值，${\displaystyle A<0}$时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

• 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X