凸函数

${\displaystyle C}$為某實向量空間的凸子集，若实值函数${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$ 對任意 ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$及任意${\displaystyle v,\,w\in C}$，皆有

${\displaystyle f\left[v+t\cdot (w-v)\right]\leq f(v)+t\cdot \left[f(w)-f(v)\right]}$

則 ${\displaystyle f}$ 稱為凸函数。

若 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} }$ ，然後在 ${\displaystyle f}$ 圖像上任取兩點${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$和${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$ 連線，則連線上某點 ${\displaystyle p}$ 的 ${\displaystyle x}$ 座標可以想成從 ${\displaystyle x_{1}}$ 出發，前進了 ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$ 這整段的一部分而已，也就是說

${\displaystyle 0\leq t={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\leq 1}$

循著同樣的比例 ${\displaystyle t}$ ， ${\displaystyle p}$ 的 ${\displaystyle y}$ 座標就可以寫成

${\displaystyle 0\leq t={\frac {y-f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}}\leq 1}$

但同樣的 ${\displaystyle x}$ 座標下，對應的 ${\displaystyle f}$ 函數值就是

${\displaystyle f\left[x_{1}+t\cdot (x_{2}-x_{1})\right]}$

所以，凸函數的定義意為，${\displaystyle f}$ 的圖像上，任意相異兩點的連線不能低於中間${\displaystyle f}$ 的曲線。[2]換言之，函數的上境圖（圖像上方的點的集合）为凸集。

凸函數的某些性質，多元情況的敍述與一元情況同樣簡單。此種性質，可能僅於多元情況列舉，恕不在一元情況贅述。

一元情況

函数（蓝色）是凸的，当且仅当其上方的区域（绿色）是一个凸集。

• 設${\displaystyle f}$是一元實函數，定義域為區間。考慮割線斜率
  $${\displaystyle R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}},}$$

  
  則函數${\displaystyle R}$是對稱函數，即關於${\displaystyle R(x_{1},x_{2})=R(x_{2},x_{1})}$。${\displaystyle f}$為凸，當且僅當對每個固定的${\displaystyle x_{2}}$，皆有${\displaystyle R(x_{1},x_{2})}$關於${\displaystyle x_{1}}$單調不減（或由對稱性，可將此句中${\displaystyle x_{1},x_{2}}$互換）。此刻劃有助證明以下的結果。
• 若一元凸函数${\displaystyle f}$定义在开区间${\displaystyle C}$內，則在C内连续，且處處有左側及右側的單邊導數。如此定義的兩個單邊導函數，皆為單調不減。由此推出，除可数个点外，${\displaystyle f}$在其他点皆可微（不過不可導的點組成的集合，仍有可能稠密）。如果${\displaystyle C}$是闭区间，那么${\displaystyle f}$有可能在${\displaystyle C}$的端点不连续，見例子。
• 一元可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：[3]^:69对于区间内的所有${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，都有
  $${\displaystyle f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y).}$$

  
  特别地，如果${\displaystyle f'(y)=0}$，則上式化為${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$，故${\displaystyle f(y)}$是${\displaystyle f}$的最小值。
• 一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。若一元函數既凸又可導，則其導數也連續。
• 一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这是判断某个函数是否凸的實用方法。直觀地，二階可導的凸函數「向上彎」，而不會屈向另一邊（即無拐点）。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，${\displaystyle f(x)=x^{4}}$的二阶导数是${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$，当${\displaystyle x=0}$时为零，但${\displaystyle f}$是严格凸的。
  • 此性質的條件「二階導數非負」與前一個性質的條件「導數單調不減」有差異。若${\displaystyle f''}$在區間${\displaystyle C}$非負，則的確${\displaystyle f'}$在${\displaystyle C}$單調不減。反之則不然，因為可能有${\displaystyle f'}$在${\displaystyle C}$單調不減，但在某點不可導，即${\displaystyle f''}$在${\displaystyle C}$中某點無定義。
• 若${\displaystyle f}$為一元凸函數，且${\displaystyle f(0)\leq 0}$，則${\displaystyle f}$在正數集內為超可加函數，即${\displaystyle f(a+b)\geq f(a)+f(b)}$對任意正實數${\displaystyle a,b}$成立。

• 如果${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$是凸函數，那麼${\displaystyle m(x)=\max\{f(x),g(x)\}}$和${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}$也是凸函數。
• 如果${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$是凸函數，且${\displaystyle g}$遞增，那麼${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$是凸函數。
• 凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果${\displaystyle f(x)}$是凸函數（${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$），那麼${\displaystyle g(y)=f(Ay+b)}$也是凸函數，其中${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m},\;b\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• 如果${\displaystyle f(x,y)}$在${\displaystyle (x,y)}$內是凸函數，且${\displaystyle C}$是一個凸的非空集，那麼${\displaystyle g(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$在${\displaystyle x}$內是凸函數，只要對於某個${\displaystyle x}$，有${\displaystyle g(x)>-\infty }$。

• 函数${\displaystyle f(x)=x^{2}}$处处有${\displaystyle f\,''(x)=2>0}$，因此f是一个（严格的）凸函数。
• 绝对值函数${\displaystyle f(x)=|x|}$是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。
• 当${\displaystyle p\geqslant 1}$时，函数${\displaystyle f(x)=|x|^{p}}$是凸函数。
• 定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0<x<1时f(x)=0，是凸函数；它在开区间(0,1)内连续，但在0和1不连续。
• 函数${\displaystyle f(x)=x^{3}}$的二阶导数为${\displaystyle f\,''(x)=6x}$，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。
• 每一个在${\displaystyle \mathbb {R} }$内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$。如果将“凸”替换为“凹”，该命题也成立。
• 每一个在${\displaystyle \mathbb {R} }$内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如${\displaystyle f(x)=a^{T}x+b}$的函数，既是凸函数又是凹函数。
• 每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。
• 如果${\displaystyle f}$是凸函数，那么当${\displaystyle t>0}$时，${\displaystyle g(x,t)=tf(x/t)}$是凸函数。
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$和${\displaystyle g(x)=\log(x)}$为单调递增但非凸的函数。
• 函数f(x) = 1/x²，f(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。

• 凹函数
• 凸集
• 對數凸函數

• Moon, Todd. . [2008-09-04]. （原始内容存档于2008-04-20）.
• Rockafellar, R. T. . Princeton: Princeton University Press. 1970.
• Luenberger, David. . Addison-Wesley. 1984.
• Luenberger, David. . Wiley & Sons. 1969.
• Bertsekas, Dimitri. . Athena Scientific. 2003.
• Thomson, Brian. . CRC Press. 1994.

• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. . Groningen: P.Noordhoff Ltd. 1961.
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.