无穷

最早關於無限的記載出現在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。書中說：「如果你從無限中移走或添加一部分，剩下的還是無限。」

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》（c. 400 BC） 把數分作三類：「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分成三種階：

• 可計的：小的、中的與大的。
• 不可計的：接近不可計的、真正不可計的、沒有方法去計的，以及無限也包括在內。
• 無限：接近無限、真正無限與無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿（Archimedes Palimpsest），在殘卷《方法》命題14中，發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分與集合論的手法，計算了兩組無窮大的集合，以求和的方法，證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

伽利略最先發現一個集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

無限大的符號是${\displaystyle \infty }$，其Unicode為U+221E ∞ INFINITY，在LaTeX中表示為\infty。

無限大的符號是1655年由約翰·沃利斯開始使用[1][2]，在開始使用後，也用在數學以外的領域，例如現代神祕主義[3]及符號學[4]。

莱布尼茨是提出許多有關其在數學中應用的猜測。對莱布尼茨而言，无穷大和無窮小量都是理想的實體，和一般數值的本質不同，不過有類似的性質[5][6]。

在實分析中，符號${\displaystyle \infty }$稱為「無窮大」，代表無界極限。${\displaystyle x\to +\infty }$表示${\displaystyle x\quad }$超出任意給定值，${\displaystyle x\to -\infty }$表示${\displaystyle x\quad }$最終小於任意給定值。

一函數積分的結果可能會是無限大，若對於所有的t，f(t) ≥ 0，則[7]

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\ dt\ =\infty }$ 意思是f(t) 在${\displaystyle a}$到${\displaystyle b}$的範圍內，其面積是無限大。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =\infty }$意思是在f(t)以下的總面積無限大。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =a}$意思是在f(t)以下的總面積是有限的，且總面積等於${\displaystyle a}$。

無窮大也可以用來描述無窮級數：

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=a}$意思是無窮級數的和會收斂到某一定值${\displaystyle a}$。
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty }$意思是無窮級數的和會发散。

若將標記為${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$的點加入到實數組成的拓撲空間，就產生實數集的「兩點緊致化」。再加入代數屬性，就得到了扩展的实数轴。也可將${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$作為一個點，記作${\displaystyle \infty }$，並得到實數的「一點緊致化」，也就是實射影線。射影幾何在平面幾何上引入無窮遠線，在高維上也有類似概念。

在複變分析中符號${\displaystyle \infty }$是指沒有正負號的极限值。${\displaystyle x\rightarrow \infty }$是指x的大小 ${\displaystyle |x|}$會超過任意給定的數值。可以在複數平面上加上无穷远点，變成一個拓扑空间，即為複數平面的一點紧化。若完成後，所得的平面是一維的复流形或黎曼曲面，稱為黎曼球面。也可以定義在其上的代數運算（不過有一個例外，無限大不能和本身相加）。另一方面，有無限大表示可以除以零，而對於任何不為0的複數z，${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty }$，因此可以將亚纯函数對映到黎曼球面上，只要將極點對應到无穷远点${\displaystyle \infty }$即可。複變函數的定義域也可以加入无穷远点，例如莫比乌斯变换的函數。

一般講無窮指的都是無窮大，但是無窮小也是一種無窮。通過${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$的映射即可把無窮大映射為無窮小。在微積分中，常用高階無窮小的概念。

無窮遠點是一個加在實數軸上後得到實射影直線${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$的點。

無窮集合和其真子集的一對一對應

在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出，對應於不同無窮集合的元素的個數（基數），有不同的「無窮」。

這裏比較不同的無窮的「大小」的時候，唯一的辦法就是通過是否可以建立「一一對應關係」來判斷，而拋棄了歐幾里得「整體大於部分」的看法。例如整數集和自然數集由於可以建立一一對應的關係，它們就具有相同的基數。

例如，

• 可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為${\displaystyle \aleph _{0}}$（阿列夫零）。
• 比可數集合「大」的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的冪集相同，為${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$。
• 由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的冪集，可以證明超窮基數的個數是無窮的。然而有趣的是，超窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大」，它不能對應於一個基數，否則會產生某種形式的康托爾悖論。

無限維的空間常用在幾何學及拓扑学中，尤其是在分類空間，也就是Eilenberg−MacLane空間。常見的例子包括無限維的複射影空間K(Z,2)，以及無限維的實射影空間K(Z/2Z,1)。

科赫曲線的前四次迭代

分形的結構可以重覆的放大，分形可以無限次的放大，但不會變的圓滑，而且仍維持原有的結構，分形的周長是無限的，有些的面積無限，但有些的面積卻是有限。像科赫曲線就是有無限周長和有限面積的例子。

利奧波德·克羅內克懷疑無限的概念，也懷疑1870年代及1880年代時數學家使用無限的方式。這種懷疑主義形成一種稱為有限主義的數學哲學，是屬於數學結構主義及數學直覺主義中的一種極端形式[8]。