狄拉克δ函数

測度是其中一種嚴謹定義δ函數的方法。作為一個測度，δ函數取一個實線R的子集A，當0 ∈ A時輸出δ(A) = 1，否則δ(A) = 0。[20]如果把δ函數想象成位於0的一個理想化的質點，則δ(A)代表集合A所包含的質量。一個函數相對於δ的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數f，這一積分滿足：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0).}$

測度δ相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個奇異測度。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數δ：[21]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0).}$

雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。

作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：[lower-alpha 3]

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

換句話說，H(x)是積累指示函數1_{(−∞, x]}相對於測度δ的積分：

${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].}$

δ函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：[22]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$

δ函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。

在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義δ函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果δ函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這δ測度的勒貝格積分。

測試函數空間一般可包括所有${\displaystyle \mathbf {R} }$上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，δ函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為[23]

${\displaystyle \forall \varphi ,\delta [\varphi ]=\varphi (0).}$

(1)

若要使δ成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函${\displaystyle S}$要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數${\displaystyle N}$，有整數${\displaystyle M_{N}}$和常數${\displaystyle C_{N}}$，使得對每個測試函數${\displaystyle \varphi }$，以下不等式都成立：[24]

${\displaystyle |S[\varphi ]|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}|\varphi ^{(k)}(x)|.}$

當${\displaystyle S}$就是δ分佈時，对所有的${\displaystyle N}$取${\displaystyle C_{N}=1,M_{N}=0}$，就能滿足這條不等式。因此，δ是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是${\displaystyle \{0\}}$。

δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數${\displaystyle \varphi }$，

${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x.}$

直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,\mathrm {d} x.}$

而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} H(x).}$

在测度论中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式(1)在所有緊支撐連續函數${\displaystyle \varphi }$空間上定義了一個Daniell積分，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為${\displaystyle \varphi }$相對於某拉東測度的勒贝格积分。

當講到「狄拉克δ函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。

在n維歐幾里得空間Rⁿ中，狄拉克δ函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f，滿足

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} ).}$

作為一個測度，n維δ函數是每個獨立變量的1維δ函數的積測度。也就是說，若x = (x₁, x₂, ..., x_n)，則[7]

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

(2)

上文的1維δ分佈也存在n維推廣。[25]儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式(2)還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。[26][27]

狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。[20]設X是集合，x₀ ∈ X，Σ為X子集上的任何σ-代数，則對每個集合A ∈ Σ可以定義測度：

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$

這就是單位質量集中在x₀處的狄拉克測度。

δ函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形M上以x₀ ∈ M為中心的δ函數可定義為以下分佈：

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

(3)

對於所有M上的緊支撐光滑實數值函數φ。[28]一個常見的特殊情況是，M是歐幾里得空間Rⁿ中的一個開集。

在局部緊豪斯多夫空間X中，集中在點x的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數φ的Daniell積分(3)的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，X在這一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率測度空間中是一個稠密集。[29]

對非零純量${\displaystyle \alpha }$，δ函數有以下縮放性質：[30]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {\mathrm {d} u}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$

所以

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

(4)

δ函數是一個偶分佈，也就是說

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x).}$

因此δ函數屬於−1階齊次函數。

δ和${\displaystyle x}$的分佈積等於零：

${\displaystyle x\delta (x)=0.}$

相反，若${\displaystyle xf(x)=xg(x)}$，其中${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$為分佈，則存在常數${\displaystyle c}$使得[31]

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x).}$

延時δ函數的積分為：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,\mathrm {d} t=f(T).}$

因此δ函數有「篩選」[32]或「採樣」的功能──可以篩選出函數在${\displaystyle t=T}$的值。

可以推論，函數${\displaystyle f(t)}$與延時δ函數卷積後會受到延時：

${\displaystyle (f(t)*\delta (t-T))\,}$	${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-T-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (\tau -(t-T))\,\mathrm {d} \tau }$ （利用(4)：${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$）
	${\displaystyle =f(t-T).}$

這必須在${\displaystyle f}$是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅里葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把δ視為分佈）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,\mathrm {d} x=\delta (\xi -\eta ).}$

更一般地來說，δ分佈可以和光滑函數${\displaystyle g(x)}$復合，使得熟悉的變量更換公式成立：

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}|g'(x)|\,\mathrm {d} x=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,\mathrm {d} u}$

條件是${\displaystyle g}$為連續可微函數且處處非零。[33]換言之，${\displaystyle \delta \circ g}$作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數f都成立。因此，定義域必須切割開來，排除${\displaystyle g'=0}$這一點。如果${\displaystyle g}$處處非零，那麼此分佈滿足${\displaystyle \delta (g(x))=0}$；否則如果${\displaystyle g}$在${\displaystyle x_{0}}$處有一個實數根，則

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

很自然地，對連續可微函數${\displaystyle g}$，可以把${\displaystyle \delta (g(x))}$「定義」為

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

其中求和跑遍${\displaystyle g(x)}$的所有根，這些根都假設為單根。[33]比如，

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$

δ分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$

δ分佈在${\displaystyle n}$維空間中的縮放性質如下：

${\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )}$

從而δ是一個${\displaystyle n}$階齊次分佈。δ分佈在任何鏡射和旋轉${\displaystyle \rho }$下不變：

${\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ).}$

和單變量時一樣，可以唯一地定義δ與雙利普希茨函數${\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$的復合，使得恆等式

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\,|\det g'(\mathbf {x} )|\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,\mathrm {d} \mathbf {u} }$

對於所有緊支撐函數${\displaystyle f}$成立。

利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義δ函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數${\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$滿足${\displaystyle g}$的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：[34]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {x} )}$

其中右邊的積分範圍是${\displaystyle g^{-1}(0)}$，即${\displaystyle g(\mathbf {x} )=0}$所定義的一個${\displaystyle (n-1)}$維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。

更一般地來說，若${\displaystyle S}$是${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中的光滑超曲面，則可以把${\displaystyle S}$聯繫到在${\displaystyle S}$上對任何緊支撐光滑函數${\displaystyle g}$積分的分佈：

${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )}$

其中${\displaystyle \sigma }$是聯繫到${\displaystyle S}$的超曲面測度。這種推廣與${\displaystyle S}$上的單層位勢的位勢論相關。設${\displaystyle D}$是${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中具有光滑邊緣${\displaystyle S}$的區域，則${\displaystyle \delta _{S}}$等於${\displaystyle D}$的指示函數的（分佈意義上的）法向導數：

${\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} ),}$

其中${\displaystyle n}$是向外法線。[35][36]

更一般地說，在n維歐幾里得空間Rⁿ中的開集U上，以點a ∈ U為中心的狄拉克δ分佈定義為[41]

${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$

對於一切φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的緊支撐光滑函數的空間。若α = (α₁, ..., α_n)是任何多重指標，而∂^α表示相關的混合偏導數算子，則δ_a的α階導數∂^αδ_a是[41]

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =\left.(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x)\right|_{x=a}}$

對於一切φ ∈ S(U)。也就是說，δ_a的α階導數是個分佈，它在任何測試函數φ的值等於φ在點a的α階導數（加上合適的正負號）。

δ函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。

高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若S是任何在U上、支撐集為一個點{a}的分佈，那麼存在整數m和一組係數c_α，使得[41][42]

${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$

通常一個初生δ函數η_ε可以如下建構。設η是一個R上的總積分為1的絕對可積函數，並定義

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

在n維當中，改用以下縮放

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

在簡單的變量更換之後，可見η_ε的積分同樣等於1。[43]不難證明，(5)對於一切連續緊支撐函數f都成立，從而η_ε作為一個測度向δ弱收斂。

這樣建構的η_ε叫做對單位元的近似，[44]因為包含所有絕對可積函數的空間L¹(R)在函數卷積這一作用下閉合：f ∗ g ∈ L¹(R)，當f和g都屬於L¹(R)。然而，L¹(R)在卷積下並沒有單位元：沒有任何元素h使得f ∗ h = f對於所有f都成立。但序列η_ε仍然能夠近似這種單位元，就是說

${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\rm {{as\ }\varepsilon \to 0.}}}$

在平均收斂（即L¹中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處點收斂，還需要對η_ε加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函數的柔化函數。

如果最初的η = η₁本身已經是光滑的而且具有緊支撐，那麼整個序列就叫做柔化序列。標準柔化序列可以通過選擇某個適當歸一化的脈衝函數η來定義，例如

${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$

在數值分析等的一些情況下，以分段線性函數對單位元進行近似會更加有用。可以定義η₁是一個三角形函數，然後有

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$

它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函數。

在概率論中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元近似的初始η₁是正的，因為這樣它就會代表一個概率分佈。有時需要和概率分佈來卷積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝或下衝。取η₁為任何隨意的概率分佈，並如上設η_ε(x) = η₁(x/ε)/ε，就可以取得對單位元的近似。此外，如果η的平均值為0，且更高矩較小，那麼序列就會向δ函數收斂得更快。比如，設η₁是[−1/2, 1/2]上的均勻分佈，即矩形函數，則：[45]

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\ {\textrm {rect}}\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

又以維格納半圓分布舉例，

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函數。

初生δ函數往往以卷積半群的身份出現。這相等於另加一個條件──η_ε與η_δ的卷積必須滿足

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$

對於所有ε和δ > 0。L¹中形成初生δ函數的卷積半群一定是對單位元的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。

在實踐當中，對單位元的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型和拋物型偏微分方程中，作為基本解或格林函數。在應用數學中，半群是線性非時變系統的輸出。抽象地來說，若A是一個作用在x的函數上的線性算子，則在對初值問題求解時會出現卷積半群：

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$

其中極限同樣是弱極限。設η_ε(x) = η(ε, x)，得出相關的初生δ函數。

下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的卷積半群。

熱核

熱核，定義是

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$

代表的是一條無限長絲在t > 0時的溫度，如果在t = 0時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式演變：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

在概率論中，η_ε(x)是一個平均值為0、方差為ε的正態分佈。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動，在t = ε這一刻的概率密度函數。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質。

在高維歐幾里得空間Rⁿ中，熱核等於

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$

並且在作必要的修改後有著相同的物理解釋。而且，當ε → 0，η_ε → δ，因此它也代表了一個初生δ函數。

帕松核

帕松核

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\;d\xi }$

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。[46]它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為δ函數時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯繫。半群根據以下方程演變：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$

其中的算子嚴謹地定義為傅里葉乘數

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$

在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生δ函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的歐拉-特里科米方程的解，[47]取得歸一化艾里函數

${\displaystyle \varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\right).}$

雖然用的是傅里葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生δ函數，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。

另一個例子是R¹⁺¹中的波動方程式的柯西問題：[48]

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$

解u代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。

其他同類的對單位元的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的sinc函數

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\;dk}$

以及貝塞爾函數

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$

要對線性偏微分方程

${\displaystyle L[u]=f}$

求解，其中L是Rⁿ上的一個微分算子，可以先取得基本解，即對以下方程求解：

${\displaystyle L[u]=\delta .}$

當L相對簡單的時候，通常直接利用傅里葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程

${\displaystyle L[u]=h}$

其中h是一個平面波函數，意思是對於某向量ξ，有

${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$

這樣的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理求解（如果L的係數是解析函數），或者用求積法求解（如果L的係數是常數）。所以，如果δ函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。

對δ函數進行平面波分解的方法，最早是約翰·拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲·約翰進一步發展至這種形式（1955）。[lower-alpha 4]選擇k，使得n + k是一個偶整數；對於實數s，定義

${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\&\\-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$

要取得δ，對g(x · ξ)相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中ξ屬於單位球面Sⁿ⁻¹：

${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數φ，

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從φ(x)在超曲面上的積分取回φ(x)的值。例如，若n是奇數，而k = 1，則右邊的積分等於

${\displaystyle c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int \int _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy=c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp}$

其中Rφ(ξ, p)是φ的拉東變換：

${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$

平面波分解的另一個等價表達式是（Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10 harvnb error: no target: CITEREFGelfandShilov1966–1968 (help)）

${\displaystyle \delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }}$

對於偶數n，且

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}$

對於奇數n。

在對傅里葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數f的傅里葉級數的第n部分和，定義是與狄利克雷核在區間[−π,π]上的卷積：

${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})x\right)}{\sin(x/2)}}.}$

因此

${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

其中

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$

傅里葉級數的一個基礎結果說明，當N → ∞，狄利克雷核趨向於δ函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即

${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

對於一切緊支撐光滑函數f。從而，在區間[−π,π]上有

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}.}$

儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，D_N從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核[49]

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$

費耶核從一種更強的意義向δ函數收斂：[lower-alpha 5]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

對於一切緊支撐連續函數f。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。

狄拉克δ分佈是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間L²上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在L²中是一個稠密集，且δ分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對L²的某個子空間賦予更強的拓撲，使得δ函數能夠定義一個有界線性算子。

索伯列夫空間

索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數f，只要滿足

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$

就必定是連續的，而且滿足

${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$

從而δ是一個在索伯列夫空間H¹上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ是H¹的連續對偶空間H⁻¹的元素。更一般地說，在n維中，有δ ∈ H^−s(Rⁿ)，條件是s > n / 2。

在複分析中，δ函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若D是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$

對於一切在D的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，δ函數δ_z可以以柯西積分表示：

${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$

更一般地來說，設H²(∂D)是一個哈代空間，它是所有在D中直到D的邊緣都是連續的全純函數，在L²(∂D)中的凸包。H²(∂D)中的函數可以唯一地延續成D上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於z ∈ D，δ函數δ_z是一個H²(∂D)上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域D，塞格核代替了柯西積分的角色。

在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數{φ_n}組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量f都可以表達成：

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$

係數{α_n}可以如下得出：

${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$

也可以寫為

${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$

這是狄拉克符號的一種。[lower-alpha 6]在這種寫法下，f以並矢方式展開：[50]

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$

設I是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式

${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }}$

稱為單位分解。當希爾伯特空間是L²(D)，包含所有在域D上的平方可積函數，那麼

${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }}$

就是一個積分算子，而f可以重新表達為：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$

右邊的級數是在L²當中向f收斂。就算f是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫

${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$

如此來表示δ函數：[51]

${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$

在適當的裝備希爾伯特空間(Φ, L²(D), Φ*)中，其中Φ ⊂ L²(D)包含所有緊支撐光滑函數，視乎基φ_n的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分佈的意義上收斂。[52]

1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數α，使得函數δ_α滿足[lower-alpha 7]

${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0).}$

他（以及拉扎爾·卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。

非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克δ函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見Yamashita (2007)論文所列出的相關書目。這樣定義的δ函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數F，都有

${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0),}$

結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。