负二项分布

當 ${\displaystyle r}$ 是整數時的負二項分布又稱帕斯卡分布，其概率質量函數為：

${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc }$

其中 ${\displaystyle k}$ 是失败的次数， ${\displaystyle r}$ 是成功的次数， ${\displaystyle p}$ 是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于 ${\displaystyle k+r}$ 次伯努利试验为独立同分布，每个成功 ${\displaystyle r}$ 次、失败 ${\displaystyle k}$ 次的事件的概率为${\displaystyle p^{r}(1-p)^{k}}$。由于第 ${\displaystyle r}$ 次成功一定是最后一次试验，所以应该在${\displaystyle k+r-1}$次试验中选择${\displaystyle r-1}$次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

括号中为二项式系数表达式：

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{r-1}}={\frac {(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}}$

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}.\end{aligned}}}$

帕斯卡分布概率质量函数${\displaystyle f(k;r,p)}$对所有可能 ${\displaystyle k}$ 值求和，一定等于1：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}=1}$

证明如下：

${\displaystyle 1=p^{r}p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}q^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}}$

其中第三步用到了二项序列展开。

取${\displaystyle r=1}$，負二項分布等於幾何分布。其概率質量函數為${\displaystyle f(k;1,p)=p\cdot (1-p)^{k}\!}$。

舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為${\displaystyle ({\frac {1}{6}})^{3}}$。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的機率為${\displaystyle {3 \choose 3-1}\left({5 \over 6}\right)\left({1 \over 6}\right)^{2}}$。第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的機率再乘${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$：${\displaystyle {(1+3)-1 \choose 3-1}\left({1 \over 6}\right)^{3}\left({5 \over 6}\right)}$。