阿贝尔群

群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。

運算	表示法	單位元	冪	逆元
加法運算	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
乘法運算	${\displaystyle x\cdot y}$ 或 ${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱爲凱萊表。如果群 ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$ 在運算 ${\displaystyle \cdot }$ 下，則這個表的 ${\displaystyle (i,j)}$ 元素即是 ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的（或說這個矩陣是對稱矩陣）。這是因為對於阿貝爾群，${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$，即表格中的 ${\displaystyle (i,j)}$ 元素等於 ${\displaystyle (j,i)}$ 元素。如下表所示：

	${\displaystyle e}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle g_{j}}$	${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle e}$
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle g_{i}}$			${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$
${\displaystyle \vdots }$

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群 ${\displaystyle G}$ 都可以表達為質數冪階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在 ${\displaystyle G}$ 有零秩時的特殊情況。

${\displaystyle mn}$階的循環群${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$同構於${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$與${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$的直和，當且僅當${\displaystyle m}$與${\displaystyle n}$是互素的。可推出任何有限阿貝爾群 ${\displaystyle G}$ 同構於如下形式的直和

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$

以任何下列規范方式：

• 數 ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$ 是素數的冪
• ${\displaystyle k_{1}}$ 整除 ${\displaystyle k_{2}}$，它又整除 ${\displaystyle k_{3}}$，如此直到 ${\displaystyle k_{u}}$。

例如，${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和：${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是同構的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要么 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$(整數0到7在模8加法下)，${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$（奇數1到15在模16乘法下），要么 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$。

小於等于16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群 ${\displaystyle G}$ 的自同構。要這么做，可利用如果 ${\displaystyle G}$ 分解為互素階的子群的直和 ${\displaystyle H\oplus K}$，則 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K)}$ 的事實。

基本定理證明了要計算${\displaystyle G}$的自同構群，分別計算西羅 ${\displaystyle p}$-子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有 ${\displaystyle p}$ 的冪的階）。固定一個素數 ${\displaystyle p}$ 并假設西羅 ${\displaystyle p}$-子群的循環因子的指數 ${\displaystyle e_{i}}$ 是按遞增次序安排的：

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

對於某個 ${\displaystyle n>0}$。需要找到

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}}$

的自同構。一個特殊情況是在 ${\displaystyle n=1}$ 的時候，此時在西羅 ${\displaystyle p}$-子群 ${\displaystyle P}$ 中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限循環群的自同構的理論。另一個特殊情況是在 ${\displaystyle n}$ 為任意的但 ${\displaystyle e_{i}=1}$ 對於 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ 的時候。這里考慮 ${\displaystyle P}$ 為有著形式

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p}}$

所以這個子群的元素可以被看作構成了在 ${\displaystyle p}$ 元素的有限域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 上的 ${\displaystyle n}$ 維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此

${\displaystyle \mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p})}$

它早先證明了有階

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1})}$

在最一般情況下，這里的${\displaystyle e_{i}}$和${\displaystyle n}$是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}}$

并且

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

則有著特別的 ${\displaystyle k\leq d_{k}}$，${\displaystyle c_{k}\leq k}$，并且

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$。

可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見[Hillar, Rhea]）。