冪

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

${\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}$

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除(${\displaystyle b}$不為0)：

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$

• ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}$
• ${\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle x^{1}=x\,\!}$
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}$

表达式${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$被称作${\displaystyle a}$的平方，因为边长为${\displaystyle a}$的正方形面积是${\displaystyle a^{2}}$。

表达式${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$被称作${\displaystyle a}$的立方，因为邊长为${\displaystyle a}$的正方体体积是${\displaystyle a^{3}}$。

所以${\displaystyle 3^{2}}$读作「3的平方」，${\displaystyle 2^{3}}$读作「2的立方」。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如${\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}$，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

${\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}$

注意${\displaystyle 3^{1}}$表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意${\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}$，${\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}$，${\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}$，${\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}$，

继续，得到${\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}$，所以${\displaystyle 3^{0}=1}$

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则${\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}$

当${\displaystyle m=n}$时，${\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}$

• 任何数的1次方是它本身。

${\displaystyle 0^{0}}$ 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是${\displaystyle 0^{0}=1}$ ，在程式语言中（python） ${\displaystyle 0**0=1}$

在这里给出这一种极限的看法

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}$ 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}$

对于非零${\displaystyle a}$定义

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$,

而${\displaystyle a=0}$时分母為 0 没有意义。

证法一：

根据定义${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$，当${\displaystyle m=-n}$时

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,}$

得${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1}$, 所以${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$。

证法二：

通过运算法则${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

当${\displaystyle m=0}$时，可得${\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}$

负数指数${\displaystyle a^{-n}}$还可以表示成1连续除以${\displaystyle n}$个${\displaystyle a}$。比如：

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$.

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：${\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}$

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 ${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$，近似值 ${\displaystyle 2.998\times 10^{8}}$ 或 ${\displaystyle 3\times 10^{8}}$

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 ${\displaystyle 10^{3}}$，词头“毫”就是 ${\displaystyle 10^{-3}}$

1的任何次幂都为1。

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。[3]但某些教科書表示0的0次方為無意義。[4]也有人主張定義為1。

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当${\displaystyle a>1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to \infty }$

当${\displaystyle a<-1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to -\infty }$ 或 ${\displaystyle \infty }$ , (視乎n 是奇數或偶數)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当${\displaystyle |a|<1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to 0}$

1的幂永远都是1

当${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to 1}$

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当${\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}$

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

从上到下：${\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}$

一个数${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根是${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$使${\displaystyle x^{n}=a}$。

如果${\displaystyle a}$是一个正实数，${\displaystyle n}$是正整数，那么方程${\displaystyle x^{n}=a}$只有一个正实数根。 这个根被称为${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，记作：${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$，其中${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$叫做根号。或者，${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根也可以写成${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}$. 例如${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}$

当指数是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$时根号上的2可以省略，如：${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}$

有理数指数幂定义为

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

指数函数的定义是：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

可以很简单地证明e的正整数k次方${\displaystyle e^{k}}$是：

${\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$

${\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}}$

y = b^x對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成[5]：

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}$

例如：

${\displaystyle x\approx 1.732}$

于是

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数${\displaystyle \ln {x}}$是指数函数${\displaystyle e^{x}}$的反函数。 它的定义是：对于任意${\displaystyle b>0}$，满足

${\displaystyle b=e^{\ln b}}$

根据对数和指数运算的规则：

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$

这就是实数指数幂的定义：

${\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}$

实数指数幂${\displaystyle b^{x}}$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

指数函数e^z可以通过(1 + z/N)^N当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 + iπ/N)^N的准确值。可以看出，随着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

複數运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解${\displaystyle e^{ix}}$（${\displaystyle x}$是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形${\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}$（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的${\displaystyle n}$，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于${\displaystyle {\frac {x}{n}}}$弧度。对于所有${\displaystyle k}$，三角形${\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}$互为相似三角形。所以当${\displaystyle n}$足够大时${\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}$的极限是复数平面上的单位圆上${\displaystyle x}$弧度的点。这个点的极坐标是${\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}$，直角坐标是${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$。所以${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式${\displaystyle e^{z}=1}$的解是一个整数乘以${\displaystyle 2i\pi }$[6]：

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$

更一般地，如果${\displaystyle e^{b}=a}$，那么${\displaystyle e^{z}=a}$的每一个解都可以通过将${\displaystyle 2i\pi }$的整数倍加上${\displaystyle b}$得到：

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$

这个复指数函数是一个有周期${\displaystyle 2i\pi }$的周期函数。

更简单的：${\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$。

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

${\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}$

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

${\displaystyle e^{x+iy}}$可以分解成${\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}$。其中${\displaystyle e^{x}}$是${\displaystyle e^{x+iy}}$的模，${\displaystyle e^{iy}}$决定了${\displaystyle e^{x+iy}}$的方向

如果${\displaystyle a}$是一个正实数，${\displaystyle z}$是任何复数，${\displaystyle a^{z}}$定义成${\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}$，其中${\displaystyle x=\ln(a)}$是方程${\displaystyle e^{x}=a}$的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

${\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i}$

${\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i}$

${\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i}$

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}$

让我们从一个简单的例子开始：计算${\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}$的得法参见上文正实数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算${\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$

复数的复数幂必须首先化为底数为${\displaystyle e}$的形式：

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}$

又，由复数的极坐标表示法：

${\displaystyle w=re^{i\theta }}$

故

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}$。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角${\displaystyle \theta }$的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。