半刻面立方體

由於半刻面立方體是立方體刻面後所形成的，因此其頂點座標跟立方體相同，为[8]

(±1, ±1, ±1)

的全排列。

半刻面立方體由6個長方形面和6個折四邊形面組成。其中6個長方形面來自原像立方體的對角面[1]：

這種形狀的面正好沿著立方體的三個軸向排列，每個軸向各有2個這種面。而這種面構建完畢後立體尚未封閉，這時需要6個折四邊形將其封閉。

特別地，折四邊形封閉立方體有兩種方式，因此這個立體存在手性鏡像[2]。

半刻面立方體的對偶多面體

半刻面立方體有部分的面通過整個立體的幾何中心，因此這個多面體之對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上[4]。溫尼爾在其著作《對偶模型》以無限高的柱體組合來具象化這類立體[4][5]。半刻面立方體的對偶多面體可以視為由6個無限高的菱形柱體組合而成。一般而言，這些柱體應當只在單一方向上延伸至無窮遠處，然而這樣的結構無法在整體的幾何對稱性上保持一致，因此這個立體的無限高柱體需向兩個方向無限延伸使其幾何對稱性在整體上維持一致。[2]

由半刻面立方體建構五複合半刻面立方體的方式，與由立方體構造成五複合立方體的方式一樣。[5]即可透過將一個半刻面立方體以原點為中心、面向軸的第一個半刻面立方體開始構造，其餘的半刻面立方體則透過軸${\displaystyle (1,\phi ,0)}$旋轉${\displaystyle -{\frac {2n\pi }{5}}}$弧度來構造，並依這加入順序決定角度值中的n，例如第二個半刻面立方體對應n=1、第三個半刻面立方體對應n=2，以此類推。[10]

五複合立方半無窮星形菱形六十面體

(點選檢視3D模型)
類別	星形二十面體
對偶多面體	五複合半刻面立方體
性質
體	5
面	20
邊	120
頂點	60
歐拉特徵數	F=20, E=120, V=60 （χ=-40）
組成與佈局
複合幾何體數量	5
複合幾何體種類	5個半刻面立方體的對偶多面體
面的種類	(由無窮实射影平面上的點構成)
對稱性
對稱群	二十面體群 (Ih)
圖像
星狀圖 星狀核 凸包 正二十面體 (由無窮实射影平面上的點構成)

由於五複合半刻面立方體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點[3][4]。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體[4][5]。特別地，這個多面體是一種星形多面體，但由於其頂點落在無窮实射影平面而並未收錄於《五十九種二十面體》中，因此被描述為「遺失的星形二十面體」[5]。

五複合半刻面立方體的對偶多面體

完全星形二十面體

五複合半刻面立方體

五複合半刻面立方體（黃色）與五複合半刻面立方體的對偶多面體（藍色）的複合體

作為星形多面體

五複合半刻面立方體的對偶多面體可以看作是一種正二十面體的星形多面體[5]，其在杜瓦記號中可以用hj2表示[5]。

星狀圖	星形	星狀核	凸包
		正二十面體	（無法具象化）

皮特里立方體

以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶 正則地區圖
對偶多面體	{3,6}(2,2)
數學表示法
施萊夫利符號	{4,3}π {6,3}(2,2)[12] {6,3}2,0[14]
性質
面	4
邊	12
頂點	8
歐拉特徵數	F=4, E=12, V=8 （χ=0）
二面角	（不存在）
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], (*432)
特性
扭歪、正則

皮特里立方體是立方體的皮特里對偶，可以透過將原有立方體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里立方體為由立方體的皮特里多邊形構成的立體[11]。由於立方體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里立方體是一個可定向且歐拉示性數為零的幾何結構[12]。皮特里立方體共有4個面、12條邊和8個頂點。其中面由4個扭歪六邊形面組成，每個頂點都是3個扭歪六邊形的公共頂點。[12]

立方體的皮特里多邊形

構成皮特里立方體的扭歪六邊形面

皮特里立方體與立方體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里立方體的皮特里對偶為立方體，換句話說，即皮特里立方體的皮特里多邊形為正方形[12][15]。皮特里立方體可以截半為八面半八面體[12][16]。

皮特里立方體

以正則地區圖表示的皮特里立方體

皮特里立方體的對偶多面體以正則地區圖表示[17]

皮特里立方體的對偶多面體可以透過截半變換轉變成八面半八面體[17]。