作用量-角度坐标

主條目：哈密頓特徵函數

假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 不顯含時間；

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q}$ ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}} ；

其中，${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$ 是運動常數，${\displaystyle \mathbf {q} }$ 是廣義坐標，${\displaystyle \mathbf {p} }$ 是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q}$ ;\ \mathbf {P} )} 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 是新廣義坐標，${\displaystyle \mathbf {P} }$ 是新廣義動量。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 與舊哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 相等：

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q}$ ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}} 。

新廣義動量的哈密頓方程式為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}$ 。

所以，新廣義動量是常數 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ：

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} }$ ，

假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}$ 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q}$ ;\ \mathbf {P} )} 可以分離為 ${\displaystyle n}$ 個函數 ${\displaystyle W_{i}}$ ：

${\displaystyle W(\mathbf {q}$ ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )} 。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}}$ ，

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}}$ 。

假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 ${\displaystyle (\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )}$ 。定義作用量為

${\displaystyle J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}}$ ；

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 ${\displaystyle p_{i}}$ 只跟 ${\displaystyle q_{i}}$ 、${\displaystyle \mathbf {a} }$ 有關，經過積分，作用量${\displaystyle J_{i}}$ 只跟 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 有關。所以，作用量向量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

${\displaystyle W(\mathbf {q}$ ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )} 。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 為

${\displaystyle w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}}$ 。

由於所有的廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$ 都相互獨立，所有的廣義動量 ${\displaystyle p_{i}}$ 也都相互獨立，所以，所有的作用量 ${\displaystyle J_{i}}$ 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

${\displaystyle W(\mathbf {w}$ ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )} 。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'}$ 與舊哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 相等：

${\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {w}$ ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}} 。

因為作用量 ${\displaystyle J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )}$ 只是常數向量，所以，

${\displaystyle -{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0}$ 。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}$ ，只跟作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 有關，跟角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 無關。

角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 隨時間的導數 ${\displaystyle \nu _{i}}$ ，可以用哈密頓方程式決定：

${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}}$ 。

每一個 ${\displaystyle J_{i}}$ 都是常數，所以，${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )}$ 也是常數：

${\displaystyle w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}}$ ；

其中，${\displaystyle \beta _{i}}$ 是積分常數。

假設原本廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$ 的振蕩或旋轉的運動週期為 ${\displaystyle T_{i}}$ ，則其對應的角度變數 ${\displaystyle w_{i}}$ 的改變是 ${\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}}$ 。進一步了解物理量 ${\displaystyle \nu _{i}}$ 的性質，猜想 ${\displaystyle \nu _{i}}$ 與廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$ 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 是廣義座標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 與作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 ${\displaystyle T_{i}}$ ：

${\displaystyle T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}}$ 。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}$ 與舊哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 相等。所以，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}}$ 。

假若 ${\displaystyle q_{j}}$ 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 ${\displaystyle p_{j}}$ 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

${\displaystyle J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell }$ ；

其中，${\displaystyle \ell }$ 是 ${\displaystyle q_{j}}$ 運動一週期的值。

這樣，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell }$ 。

代入週期 ${\displaystyle T_{i}}$ 的公式，

${\displaystyle T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}}$ 。

肯定地，${\displaystyle \nu _{i}}$ 是廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$ 的頻率。

假若 ${\displaystyle q_{j}}$ 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 ${\displaystyle p_{j}}$ 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 跟廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 、作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 有關：

${\displaystyle w_{i}=w_{i}(\mathbf {q}$ ;\ \mathbf {J} )} 。

保持作用量不變，角度的虛位移 ${\displaystyle \delta w_{i}}$ 是：

${\displaystyle \delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}}$ 。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$ 都有它運動的週期 ${\displaystyle T_{i}}$ 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 ${\displaystyle T_{1}}$ 、${\displaystyle T_{2}}$ 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 ${\displaystyle T}$ ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

${\displaystyle T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle {\frac {T}{T_{1}}}}$ 、${\displaystyle {\frac {T}{T_{2}}}}$ 、${\displaystyle m_{1}}$ 、${\displaystyle m_{2}}$ ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 ${\displaystyle T}$ 為

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}}$ ；

其中，${\displaystyle {\frac {T}{T_{i}}}}$ 、${\displaystyle m_{i}}$ ，都是正值的整數。

經過一個週期 ${\displaystyle T}$ ，角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 的變化是：

${\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}}$ 。

由於作用量 ${\displaystyle J_{i}}$ 是個常數，可以將它從積分內提出：

${\displaystyle \Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}}$ 。

所以，頻率是

${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$ 。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$ 、${\displaystyle q_{j}}$ ，其週期 ${\displaystyle T_{i}}$ 、${\displaystyle T_{j}}$ 的比例是無理數。那麼，${\displaystyle q_{i}}$ 不可能與 ${\displaystyle q_{j}}$ 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，${\displaystyle \nu _{i}}$ 、${\displaystyle \nu _{i}}$ 仍舊分別是 ${\displaystyle q_{i}}$ 、${\displaystyle q_{j}}$ 的頻率。

角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 ${\displaystyle q_{k}}$ 可以用角度的傅立葉級數表示：

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$ ；

其中， ${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$ 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}$ 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 ${\displaystyle q_{k}}$ 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}}$ 。