傅里叶级数

人们常用${\displaystyle \sin(x)}$與${\displaystyle \cos(x)}$的三角級數來表示${\textstyle s(x)}$，就是将所有${\displaystyle n}$階諧波${\textstyle \sin({\frac {2\pi nx}{P}})}$與${\textstyle \cos({\frac {2\pi nx}{P}})}$，乘以其各自在${\textstyle s(x)}$中的權重，求得它们的總和；这些${\displaystyle n}$階諧波的權重稱爲傅立葉級數係數，它们可以藉由如下積分來獲得：

符号${\textstyle \int _{P}}$表示在选定区间上的积分，典型的选择为${\displaystyle [-P/2,P/2]}$或者${\displaystyle [0,P]}$。注意${\displaystyle A_{0}}$是函数${\displaystyle s(x)}$的平均值[upper-alpha 1]，这个性质扩展到了类似的变换比如傅里叶变换。

通过这些系数定义傅里叶级数为：

这里使用符号${\displaystyle \sim }$，表示傅里叶级数的求和不一定总是等于${\displaystyle s(x)}$。普遍來說${\displaystyle n}$是理論上趨近於無限大的，但是就算趨近於無限大，對所有的${\displaystyle x}$（例如在某一點上不連續），傅立葉級數也不一定收斂到${\textstyle s(x)}$ 。尽管不收斂的可能性始终存在，在科学和工程领域中经常将Eq. 2中的${\displaystyle \sim }$直接替代为${\displaystyle =}$。

在傅里叶级数系数中的整数索引${\displaystyle n}$，是级数中相应的${\displaystyle \cos }$或${\displaystyle \sin }$，在这个函数的周期${\displaystyle P}$中，形成的圆周（cycle）的数目。因此对应于${\displaystyle A_{n}}$和${\displaystyle B_{n}}$的项有着：

• 波长等于${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$，并且有着同于${\displaystyle x}$的单位。
• 频率等于${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$，并且有着${\displaystyle x}$的倒数单位。

下面藉由歐拉公式${\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }$，将傅里叶级数系数简化成复数指數形式。

根據定義，我們可以得到:

通过将等式Eq. 1代入Eq. 3，可以证实[4]：

给定复数傅里叶级数系数，可以用公式复原出${\displaystyle A_{n}}$和${\displaystyle B_{n}}$：

通过这些定义，傅里叶级数可以写为：

这是可推广到复数值域函数的惯用形式。${\displaystyle n}$的负数值对应于负频率。

人们習慣將${\textstyle s(x)}$的值域普遍化到複數上，设${\textstyle s(x)}$是一個複數值函數，它的實部和虛部，都是實數值函數：

${\displaystyle s(x)=\operatorname {Re} (s(x))+i\cdot \operatorname {Im} (s(x)),\quad x\in \mathbb {R} }$

定义${\displaystyle c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}}$则：

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}$

${\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}$

${\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}$

对于这个复数值函数，它的傅里叶级数的实部，是它的实部的傅里叶级数；它的傅里叶级数的虚部，是它的虚部的傅里叶级数：

${\displaystyle s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}=\sum _{n=\infty }^{\infty }c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}+i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}}$

還可以利用三角恆等式${\displaystyle \ \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \,}$，把正弦-余弦形式中後面的正弦函數跟餘弦函數合併起來：

${\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)}$

然後定義振幅${\textstyle A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$，相位${\textstyle \varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})}$，这里的${\displaystyle a_{n}}$和${\displaystyle b_{n}}$对应正弦-余弦形式中${\displaystyle A_{n}}$和${\displaystyle B_{n}}$。${\displaystyle {\tfrac {A_{0}}{2}}}$是${\displaystyle s(x)}$的平均值${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx}$。

在描述傅里叶级数行为的时候，经常会为一个函数${\displaystyle f(x)}$介入部份求和算子${\displaystyle S_{N}}$[5]：

这里的${\displaystyle c_{n}}$是${\displaystyle f}$的傅里叶系数。不同于微积分中的级数，傅里叶级数的部份求和必须采用对称形式，否则收敛结果可能不成立。

假設${\displaystyle f(x)}$與${\displaystyle g(x)}$是在${\textstyle \mathbb {R} }$上的可積函數，${\displaystyle f(x)}$與${\displaystyle g(x)}$在${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$的捲積${\displaystyle (f*g)(x)}$為:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )g(x-\tau )d\tau }$

周期为${\displaystyle 2\pi }$的函數${\displaystyle f(x)}$的傅立葉級數的部份求和，可以经由${\displaystyle f(x)}$与狄利克雷核${\textstyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}}$的摺積来表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )e^{-in\tau }d\tau \right)\cdot e^{inx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )\left(\sum _{n=-N}^{N}e^{in(x-\tau )}\right)d\tau \\&={\frac {1}{2\pi }}(f*D_{N})(x)\end{aligned}}}$

${\displaystyle s_{N}(x)}$在${\displaystyle [x_{0},\ x_{0}+P]}$近似了${\displaystyle s(x)}$，该近似程度会随着${\displaystyle N\rightarrow \infty }$逐渐改善。这个无穷和${\displaystyle s_{\infty }(x)}$叫做 ${\displaystyle s}$的傅里叶级数表示。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见傅里叶级数的收敛性之一。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛定义傅里叶系数。在${\displaystyle s(x)}$的不可导点上，如果我们只取无穷级数中的有限项求和，那么在这些点上会有幅度不随${\displaystyle N}$增大而持续变小的起伏，这叫做吉布斯现象，一个简单的例子是方波信号。

在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于${\displaystyle s(x)}$，只要在${\displaystyle s(x)}$的导数（或许不会处处存在）是平方可积的[6]。如果一个函数在区间${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎处处的点都收敛于该函数。

• 
  一个相同幅度和频率的锯齿波的近似的可视化
• 
  另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。（可以在这里[7]看到一个交互式的动画）
• 
  收敛于某个任意函数的例子。注意其中的吉布斯现象

符号${\displaystyle c_{n}}$在讨论多个不同函数的傅里叶系数时是不够用的。因此习惯上将其替代为函数（这里是函数${\displaystyle s}$）的某种修改形式，即采用函数式符号比如${\displaystyle {\hat {s}}[n]}$或${\displaystyle S[n]}$，来替代下标式符号：

${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{2\pi inx/P}\quad }$常用的数学符号

${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\quad }$常用的工程符号

在工程上，特别是在变量${\displaystyle x}$表示时间的时候，系数序列叫做频域表示。经常使用方括号来强调这个函数的定义域是频率的离散集合。

另一个常用频域表示，使用傅里叶级数系数，调制像梳子一样的狄拉克采样函数：

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)}$

这里的${\displaystyle f}$表示连续频域。在变量${\displaystyle x}$以秒为单位的时候，${\displaystyle f}$以赫兹为单位。采样的间隔为基本频率${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$的${\displaystyle n}$倍（即为谐波）。 ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$可以通过逆傅里叶变换从这种表示恢复出来:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x)\end{aligned}}}$

构造出的函数${\displaystyle S(f)}$，因而通常称为“傅里叶变换”，即使一个周期函数的傅里叶积分在这个谐波频率上不收敛[upper-alpha 2]。

锯齿波周期函数的图

前五个部分傅里叶级数的动态图

我们现在用上面的公式给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考虑一个锯齿波：

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi }$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} }$

在这种情况下，傅里叶级数为：

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}}$

可以证明，当${\displaystyle s}$可微时，傅立叶级数在每个点${\displaystyle x}$都收敛于${\displaystyle s(x)}$，于是：

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right)\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

(Eq.1)

当${\displaystyle x=\pi }$时，傅里叶级数收敛于${\displaystyle 0}$，为在${\displaystyle x=\pi }$ 处${\displaystyle s}$的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。

这个例子为我们引出了巴塞尔问题的一种解法。

金属板内的热分布，使用傅里叶方法求解

在上例中我们的函数的傅里叶级数展开式看起来不比${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$简单，因此人们需要傅里叶级数的原因也就不会立即显现出来。但还有很多应用，我们举用傅里叶诱导解热方程的例子。考虑边长为${\displaystyle \pi }$米的方形金属版，坐标为${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$。如果板内没有热源，并且四个边中三个都保持在${\displaystyle 0}$摄氏度，而第四条边${\displaystyle y=\pi }$，对于${\displaystyle x\in (0,\pi )}$，保持在温度梯度${\displaystyle T(x,\pi )=x}$摄氏度。在这种情况下，稳态（或者说很长时间过后的）热分布函数${\displaystyle T(x,y)}$不能得出解析解，但却可以证明：

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}}$

这里的${\displaystyle \sinh }$是双曲正弦函数。热方程的这个解是通过将${\displaystyle \pi s(x)}$的傅里叶级数的每一项乘以${\displaystyle {\tfrac {\sinh(ny)}{\sinh(n\pi )}}}$得到的。尽管示例的函数${\displaystyle s(x)}$的傅里叶级数似乎很复杂，用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。

我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式，或是構造處處連續處處不可微的函數。

假設一個函數在${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [0,2\pi ]}$上是平方可積，則會有:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0}$ 當${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

證明的第一步:

考慮一系列正交基底，${\displaystyle \{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$，其中${\displaystyle e_{n}(x)=e^{-inx}}$，且有

${\displaystyle (e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}}$

然後有${\displaystyle (f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)}$

特別的有，${\displaystyle f(x)}$的傅立葉級數的部分和${\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}}$

然後根據${\displaystyle f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}}$ 以及畢氏定理，可以有:

${\displaystyle ||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$ 替換一下後有 ${\displaystyle ||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$

如果右邊第一項收斂到0，再根據正交的性質，可以看出上述式子中的右手邊第二項:

${\displaystyle ||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}}$，這就證明了帕塞瓦尔定理。

证明的第二步:

回到證明右邊第一項，因為函數${\displaystyle f(x)}$可積，找到一個連續函數${\displaystyle g(x)}$，然後根據最佳逼近引理，可以找到一個三角多項式p(x)，使得

${\displaystyle |f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|}$

故當${\displaystyle N\rightarrow \infty }$，函數${\displaystyle f(x)}$跟${\displaystyle S_{N}(f)(x)}$的差為0。

如果有一個定義在${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$的函數${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle g(x)}$,其中函數${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle g(x)}$的傅立葉係數${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$還有${\displaystyle {\hat {g}}(n)}$相同，且傅立葉級數都收斂到函數本身，那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性，也就是${\displaystyle f(x)=g(x)}$。換句話說，如果函數${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$上可積，傅立葉係數${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$為0，對所有的${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，那麼函數${\displaystyle f(x)=0}$

给定周期为${\displaystyle P}$的函数${\displaystyle s_{_{P}}}$和${\displaystyle r_{_{P}}}$，它们具有傅里叶级数系数${\displaystyle S[n]}$和${\displaystyle R[n]}$，这里的${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$。

• 逐点乘积${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$，也是周期为${\displaystyle P}$，并且它的傅里叶级数系数是序列${\displaystyle S}$和${\displaystyle R}$的离散卷积：${\displaystyle H[n]=(S*R)[n]}$。
• 周期卷积${\textstyle h_{_{P}}(x)\triangleq (s_{_{P}}*r)(x)=(s*r_{_{P}})(x)=\int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$，也是周期为${\displaystyle P}$，它具有傅里叶级数系数：${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n]}$。
• 在${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$中的双无限序列${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$，是在${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$中的傅里叶系数的序列，当且仅当它是在${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$中的两个序列的卷积[11]。

我們說${\displaystyle f(x)}$屬於在${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ 如果${\displaystyle f(x)}$是一個在實數上以${\displaystyle 2\pi }$為週期的函數，且${\displaystyle k}$次可微而且${\displaystyle k}$階連續。

• 如果${\displaystyle f(x)}$屬於在${\displaystyle C^{1}(\mathbb {T} )}$，那麼${\displaystyle f'(x)}$傅立葉係數${\displaystyle {\hat {f'}}(n)}$可以被用${\displaystyle f(x)}$傅立葉係數${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$的表示，藉由公式${\displaystyle {\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)}$

• 如果${\displaystyle f(x)}$屬於在${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$，${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)}$。特別的，當固定${\displaystyle k\geq 1}$，我們有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)}$趨近於0當${\displaystyle n\rightarrow \infty }$，且有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})}$。

如果${\displaystyle S}$是可积函数，则${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$，${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$而${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0}$。