魏尔施特拉斯逼近定理

• 第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导[1][2]。
• 第二逼近定理的证明：

设${\displaystyle f(t)}$为周期为${\displaystyle 2\pi }$的连续函数，定义${\displaystyle f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}}$为一三角级数。 首先证明${\displaystyle \left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }}$，为一个正交函数系：

${\displaystyle \langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-m)t}\,dt=0}$

${\displaystyle \langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1}$(因为${\displaystyle \left|e^{int}\right|=1}$)。 故令${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}}$，于是我们可以求出${\displaystyle c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt}$。 将${\displaystyle c_{n}}$代入 ${\displaystyle f_{a}(t)}$ 的定义式中，有：

${\displaystyle f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds}$。

下面对积分号中的和式S求和，令${\displaystyle w=ae^{i(t-s)}}$，那么就有：${\displaystyle S=...+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+...}$，分成正负两部分求和，可知:

${\displaystyle S=1+W+{\bar {W}}=1+2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}}$ 代回原积分，有${\displaystyle f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds}$，这就是f(s)的泊松积分。其中${\displaystyle p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}}$称为泊松核。故有：

${\displaystyle f_{a}(t)=\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)f(t-x)\,dx}$

我们要检验的的是${\displaystyle \left|f_{a}(t)-f(t)\right|}$在${\displaystyle a\to 1}$时的情况，可以证明：

${\displaystyle \left|f_{a}(t)-f(t)\right|<\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx}$

由${\displaystyle f(t)}$的一致连续性，可以证明，上式在${\displaystyle a\to 1}$时，满足一致收敛的条件，故我们可以用${\displaystyle f_{a}(t)}$来一致逼近${\displaystyle f(t)}$。

• 傅里叶级数