六階六邊形鑲嵌

在平面幾何中，正六邊形的內角為120度，而這種幾何結構每個頂點都是6個不重疊的正六邊形，其角的總和超過了360度因此無法在歐幾里得平面上建構此種幾何結構。而在雙曲幾何中，這樣的六邊形不被視為內角為120度的六邊形，而是內角為60度的正六邊形。在球面幾何和雙曲幾何中，長度尺度都可以利用具有固定角度的等邊三角形邊長來定義。[4]以雙曲幾何為例，長度一般以絕對長度（一種特殊的長度單位，類似於球面幾何中的距離之間的關係）來定義[5]，在這個定義下，六階六邊形鑲嵌中的每個六邊形可以再分成6個正三角形，每個正三角形的內角為30度[註 1]，因此對應的內角和為90度，角虧為90度。

就像球面幾何一樣，雙曲幾何也具有不為零的均勻曲率。因此也能夠為雙曲鑲嵌圖定義外接球半徑，這個半徑是一個純虛數值，代表一個雙曲超球體。[2]因此六階六邊形鑲嵌的外接球是一個雙曲超球體，對應的半徑可以用一個複數來代表雙曲平面的變換，其值為負八平方根的倒數：[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-{8}}}}=-0.35355339059327i}$

這個鑲嵌代表一個由六條鏡射線定義一個正六邊形基本域的萬花筒。這由六個三階交叉反射性在軌型符號中可以表示為(*333333)。在考斯特表示法可表示為[6^*,6]，從三個的鏡射線當中移除兩條穿過六邊形中心的鏡射線。這個萬花筒的奇數/偶數基本域可被視為是交替塗色的六階六邊形鑲嵌。特別地，這樣的幾何結構可以用來表示鑲嵌。[6]

六角六片三角孔扭歪無限面體與其對偶多面體的複合體

六階六邊形鑲嵌的結構可以轉變成一種扭歪無限面體。這種扭歪無限面體同樣是每個頂點都是6個正六邊形的公共頂點，且能夠存於歐幾里得空間中。然而這樣的幾何結構中含有正三角形的孔洞。其面的布局正好是過截角交錯立方體堆砌的子集。[3]

六階六邊形鑲嵌本身具備自身對偶的特性，其扭歪無限面體對應拓樸結構也具備自身對偶的特性，也就是說，六角六片三角孔扭歪無限面體的對偶多面體也是六角六片三角孔扭歪無限面體。[3]

• 
  六角六片三角孔扭歪無限面體
• 
  每個頂點都是6個六邊形的公共頂點

該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點有著六個面的多面體及鑲嵌相關，施萊夫利符號皆為{n,6}，而考斯特符號為，n從2到無窮。更一般地，這種立體也可以對應到系列的一部分。[3]

球面鑲嵌		雙曲面鑲嵌
{2,6}	{3,6}	{4,6}	{5,6}	{6,6}	{7,6}	{8,6}	...	{∞,6}

由於{n,6}在n=6的例子上為自身對偶，因此其對應的對偶多面體群在拓樸學上和也可以視為是頂點圖為（6ⁿ）的一系列的鑲嵌的一部份。更一般地，{n,6}與{6,n}群在n=6時都可以對應到系列的一部分。[3]

球面	欧氏	双曲镶嵌
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

退化		球面		欧氏	双曲镶嵌
									...
{0,0}	{1,1}	{2,2}	{3,3}	{4,4}	{5,5}	{6,6}	{7,7}	{8,8}	...	{∞,∞}

六階六邊形相關鑲嵌
對稱性：[6,6], (*662)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =
{6,6} = h{4,6}	t{6,6} = h2{4,6}	r{6,6} {6,4}	t{6,6} = h2{4,6}	{6,6} = h{4,6}	rr{6,6} r{6,4}	tr{6,6} t{6,4}
對偶
V66	V6.12.12	V6.6.6.6	V6.12.12	V66	V4.6.4.6	V4.12.12
交錯
[1+,6,6] (*663)	[6+,6] (6*3)	[6,1+,6] (*3232)	[6,6+] (6*3)	[6,6,1+] (*663)	[(6,6,2+)] (2*33)	[6,6]+ (662)
=		=		=
h{6,6}	s{6,6}	hr{6,6}	s{6,6}	h{6,6}	hrr{6,6}	sr{6,6}
交錯對偶
V(3.6)6	V3.3.3.6.3.6	V(3.4)4	V3.3.3.6.3.6	V(3.6)6	V(3.4.4)2	V3.3.6.3.6

此外，六階六邊形鑲嵌可以作為一些四維幾何結構的胞，例如三階的六階六邊形鑲嵌蜂巢體（又稱三階的六階六邊形鑲嵌堆砌）是一種由六階六邊形鑲嵌構成的幾何結構，三階則代表每條稜為3個六階六邊形鑲嵌的公共稜，其組成方式與立方體組成立方體堆砌的方式類似。然而三階的六階六邊形鑲嵌蜂巢體屬於非緊空間幾何結構，因此其除了可以透過雙曲龐加萊球體來視覺化外，也可以從無窮遠處的理想曲面（Ideal surface）來視覺化。[7]

• 
  三階的六階六邊形鑲嵌蜂巢體由六階六邊形鑲嵌組成
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  三階的六階六邊形鑲嵌蜂巢體於理想曲面（Ideal surface）呈現的結構