凯莱-迪克森结构

复数可以被写成实数a和b的有序对(a, b)。同时加法运算为对应分量相加，乘法则定义为

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,}$

一个第二分量为零的复数伴随着一个实数：复数(a, 0)就是实数 a。

另一个重要的复数运算是共轭。(a, b)的共轭(a, b)^*如下给出

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a,-b).\,}$

共轭具有性质

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0),\,}$

这是一个非负实数。这样，共轭定义了一个“范数”，使复数成为了实数域上的赋范线性空间：复数 z的范数为

${\displaystyle |z|=(z^{*}z)^{1/2}.\,}$

此外，对于任何非零复数 z，共轭给出一个乘法逆元

${\displaystyle z^{-1}={z^{*}/|z|^{2}}.\,}$

既然复数由两个独立的实数组成，则全体复数构成实数域上的线性空间。

此外，作为较高维的数，复数可以说比实数缺少了一个代数性质：一个实数的共轭是其自身。

构造的下一步是推广乘法和共轭。

复数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的有序对${\displaystyle (a,b)}$的乘法定义为

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,}$

公式中的细微变化是合理的；构造的结果是产生在忽略基的记号下是同一的结构。

因子的次序似乎很奇怪，但对于下一步意义重大。 定义${\displaystyle (a,b)}$的共轭${\displaystyle (a,b)^{*}\,}$

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,}$

这些符号是它们在复数情况下的直接推广：如果${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是从复数集的实数子集中选取，则共轭在公式中的表现没有影响，所以这些运算和在复数下一样。

一个元素和它的共轭之积为非负实数：

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0).\,}$

同之前一样，共轭运算产生了一个范数和任一有序对的逆。所以在前述情况下，这些有序对组成了一个有些像实数的代数。它们被称为四元数，由威廉·哈密顿于1843年命名。

由于四元数由独立的两个复数组成，它们构成实数域上的4维线性空间。

四元数的乘法并不完全和实数相同。它是非交换的，也就是说如果${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$是四元数，并不总能得到${\displaystyle pq=qp}$。

从这里开始，所有步骤看起来是一样的。

这次，四元数${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$的有序对${\displaystyle (p,q)}$的乘法和共轭定义如同四元数一样：

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,}$

然而，注意到四元数是非交换的，因子在乘法公式中的次序变得很重要——如果最后一个因子是${\displaystyle r^{*}q}$而不是${\displaystyle qr^{*}}$，从一个元素与其共轭的积的公式得不到一个实数。

由与之前完全一样的原因，共轭运算产生了一个范数和任一非零元的逆。

这个由约翰·格雷夫斯在1843年描述的代数被称为八元数或者“凯莱数”。

由于八元数由独立的两个四元数组成，它们构成实数域上的8维线性空间。

八元数的乘法比四元数还要奇怪。除了非交换，它还是非结合的：如果${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$和${\displaystyle r}$都是八元数，则并不总能得到

${\displaystyle (pq)r=p(qr).\ }$

紧接着八元数的代数是十六元數。它保留了一个叫幂结合性的代数性质：如果${\displaystyle s}$是一个十六元数，则${\displaystyle s^{n}s^{m}=s^{n+m}}$。但失去了作为交错代数的性质，从而不再是合成代数。

凯莱-迪克森构造能继续进行下去，產生如三十二元數、六十四元數等代數結構，每一步产生一个幂结合代数，其维数为前一步产生的代数的两倍。

Albert (1942, p. 171)给出一个略为一般化的结论。A是一个带对合的代数，定义B=A⊕A上的积和对合为

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,}$

${\displaystyle (p,q)^{*}=(p^{*},-q)\ }$

这里γ为一个和*以及左乘右乘可交换的加性映射。（在实数上γ的所有选择等价于−1,0或1） 在这种构造中，A是一个带对合的代数，意味着：

• A对于+是阿贝尔群。
• A有一个适合对+的左右分配律的乘法。
• A有一个对合*，这里x** = x, (x+y)* = x*+y*, (xy)* =y*x*。

由凯莱-迪克森构造生成的代数B=A⊕A仍然是带对合的代数。

B继承自A而未改变的性质有

• 若A有单位元1_A，则B有单位元(1_A, 0)。
• 若A有性质x+x^*、 xx^*与所有元素结合且交换，则B也有此性质。这一性质意味着任何元素引起一个交换、结合的*-代数，特别的，该代数满足幂结合性。

A的其他性质仅诱导出B的较弱性质：

• 若A是交换的并具有平凡对合，则B是交换的。
• 若A是交换的和结合的，则B是结合的。
• 若A是结合的，x+x^*、 xx^*与所有元素结合且交换，则B是交错的。

• Albert, A. A., , Annals of Mathematics. Second Series, 1942, 43 (1): 161–177 [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1968887, MR0006140, （原始内容存档于2016-03-24） (see p. 171)
• Baez, John, , Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, 39: 145–205 [2011-01-04], ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, （原始内容存档于2009-04-21）. (See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction（页面存档备份，存于）")
• Dickson, L. E., , Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics), 1919, 20 (3): 155–171 [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1967865, （原始内容存档于2016-10-06）
• Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., , Leipzig: B.G. Teubner, 1978
• Hamilton, William Rowan, , Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, 3: 1–16 [2011-01-04], ISSN 1393-7197, （原始内容存档于2010-12-18）

• Hyperjeff, Sketching the History of Hypercomplex Numbers (1996-2006).