超复数

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$，正交化該二次型，以得到基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$，滿足：

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}$

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到${\displaystyle 2^{k}}$個克里福數，即${\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}$，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即${\displaystyle e_{i}}$）有奇數對抑或偶數對。所以，${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$，但${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$。

若不允許${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$（即二次型非退化），則餘下的克里福代數可記為${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$，表示其為${\displaystyle p}$個滿足${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$的簡單基元和${\displaystyle q}$個滿足${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$的簡單基元生成的代數，而括號內的${\displaystyle \mathbb {R} }$指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。

該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}$、雙曲複數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}$，四元數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}$、分裂複四元數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$、分裂四元數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}$（二維空間生成的自然代數）、${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}$（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$。

代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$可以視為代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$的偶子代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$，從而可用作描述${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：[17]

設${\displaystyle A}$為實結合代數，且具有單位元${\displaystyle 1}$。則

• ${\displaystyle 1}$生成${\displaystyle \mathbb {R} }$（實子代數），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$是任何滿足${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$的元素，則其生成的二維子代數與${\displaystyle \mathbb {C} }$同構（複子代數），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$是任何滿足${\displaystyle e_{0}^{2}=+1}$的元素，則其生成的二維子代數與${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$同構（此處${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$反交換，則${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$生成的四維子代數同構於${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元數代數），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$反交換，則${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$生成的四維子代數同構於${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}$（元素為${\displaystyle 2\times 2}$實矩陣，或分裂四元數），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於${\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }$（分裂複四元數代數），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$（元素為${\displaystyle 2\times 2}$複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類。

撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$皆含有平方為${\displaystyle +1}$的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為${\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}$的數系，該些數系的基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}$滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$。在8維或以上時（即${\displaystyle n\geq 3}$），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即${\displaystyle n\geq 4}$），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數中的「分裂代數」，而非除代數：

分裂複數系：有基${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$，滿足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$，

分裂四元數系：有基${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$，滿足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$，

分裂八元數系：有基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}$，滿足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$，${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$。

與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。

兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取2維實代數${\displaystyle \mathbb {C} }$（複數系）、4維實代數${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元數系）、8維實代數${\displaystyle \mathbb {O} }$（八元數系），分別與${\displaystyle \mathbb {C} }$作張量積，依次得4維的雙複數系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$、8維的複四元數系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$、16維的複八元數系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$。

• 多重複數：其組成複域上的${\displaystyle 2^{n-1}}$維向量空間。
• 複合代數：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。