坡印廷向量

在坡印廷的原始论文和许多教科书中，它通常记作 S 或 N，定义为[3][4]

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

其中

• E 是电场强度；
• H 是磁场强度。

这种形式通常被称为亚伯拉罕形式。[5][6] 偶尔也用电场强度 E 和磁感应强度 B 作为另一种定义。甚至可以把电位移矢量 D 和磁感应强度 B 结合起来得到的坡印廷矢量的闵可夫斯基形式，或使用 D 与 H 构成另一种形式。[6]选用哪种形式一直是有争议的：羅伯特·費福（Robert Pfeifer）等人[7]总结并一定程度上解决了亚伯拉罕与闵可夫斯基形式支持者之间长达一个世纪的争议。

坡印亭矢量表示的是电磁能量的能流矢量的特殊情况。然而，空间内任何形式的能量都有其移动方向，也有密度，所以其他形式的能量也可以定义能流矢量，例如机械能。1874年由尼科莱·乌诺夫发现的乌诺夫–坡印亭矢量[8]以完全广义的观点描述了液体和弹性介质中的能流。

说明

一个由电池（V）和電阻（R）组成的直流电路，用（S, 蓝）表示在周围空间中的坡印廷向量的方向，产生其的電場为（E, 红），磁場为（H, 绿）。在电池周围区域坡印廷矢量方向向外，说明流出电池的电能进入了电磁场中；在电阻周围区域该矢量方向向内，说明场的能量流入电阻中。在电池与电阻之间的任何平面 P 上，能流密度朝向电阻的方向。

電流方向改變時，電場與磁場方向同時改變，能量場方向不變，因此交流電電流方向改變不會影響對負載作功。

根據能量守恒所得的坡印亭定理中出现了坡印廷向量（参见此条目中定理和向量的推导）：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} }$

其中 J_f 为自由电荷的电流密度而 u 为线性、非色散材料的电磁场能量密度，即

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)}$

其中

• E 是电场强度；
• D 是电位移矢量；
• B 是磁感应强度；
• H 是磁场强度。[9]^:258-260

右面的第一项表示流入一个小体积的净电磁能流，而第二项表示自由电流所抵銷的功部分（這些功從电磁能转换成耗散能、热）。在此定义中，在此项中不包括束缚电流，但束缚电流会影响 S 和 u。

對於线性、非色散、各向同性（為了方便分析）材料，本构关系写作

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$，${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} }$

的时候。其中

• ε 为材料的电容率；
• μ 为材料的磁导率。[9]^:258-260

原则上，这把此形式的坡印廷定理限制於描述場在真空中的行為，或在線性、非色散材料中的行為。坡印廷定理可以延伸到色散材料中，但必須在方程式裏添加更多項。[9]^:262-264

坡印廷矢量通常被解释为能流，但對於某些案例可能會導致悖論般的結果[10]^:180[11]。上述坡印廷定理描述了更一般的情形，指出坡印廷矢量的散度與能量密度的改變有關，这就是说它只能描述空间中能量密度的改变，描述不了能流，換句話說，坡印廷矢量只精確地定義至任意場的旋度[9]^:258-260。在下一節會有更多相關說明。

在某些情况下，可以更合适地定义坡印亭矢量为

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

其中

• μ₀ 是真空磁导率；
• E 是电场强度；
• B 是磁感应强度。

可以直接从以总电荷和总电流为变量的麦克斯韦方程组和洛伦兹力定律导出这种形式。

对应的坡印亭定理的形式为

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

其中 J 为全电流密度，而能量密度 u 为

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}$

其中 ε₀ 是真空电容率。

坡印廷向量的两种定义在真空或非磁性材料中等价，其中B = μ₀H。在其他的情形，兩者的差異在於S = 1/μ₀ E × B，而對應的u是純輻射性的，因為耗散項−J ⋅ E包括了總電流，而以H場所做的定義涵蓋了約束電流的貢獻，因而缺乏耗散項。[15]

推導S = 1/μ₀ E × B的過程中只需要微觀場E和B，關於材料性質的假設則可迴避掉。是故以此方式定義的坡印廷向量與坡印廷定理是普遍成立的，不論是在真空中或各式各樣的材料中。[15]

对于时间周期正弦电磁场，单位时间内的平均潮流（功率流）往往更有用处，可以通过如下的电场和磁场的解析表示来求得（下标“a”指的是解析信号，带下划线的下标“m”指複振幅，而上标“*”指共轭复数）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H_{\mathrm {a} }} \right)\\&=\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left[{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)^{*}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)^{*}\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times \mathbf {H_{m}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}}$

关于时间的平均为

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)\right]\mathrm {d} t}$

第二项为正弦曲线

${\displaystyle \operatorname {Re} \!\left(e^{2j\omega t}\right)=\cos(2\omega t)}$

其平均为零，于是得到

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \times \mathbf {H_{\mathrm {a} }^{*}} \right)}$