奇点理论

有双点的曲线

有尖点的曲线

历史上，奇点最早出现在代数曲线的研究中。

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+x^{3}}$

在(0, 0)处的双点与

${\displaystyle y^{2}=x^{3}\ }$

在(0, 0)处的尖点有本质区别，从草图就能看出。艾萨克·牛顿对所有三次平面曲线进行了详细研究，这些例子就属于三次曲线的一般族。提出贝祖定理时，人们注意到在计算曲线的交点时，必须用重复度（如双点是2，尖点是3）来计数。

随后，只需定义代数簇的奇点的一般概念，即允许更高的维数。

代数几何中的奇点原则上是最容易研究的，因为它们是多项式方程定义的，也是由坐标系定义的。可以说，奇点的“外在意义”没有问题，只是在“内部意义”上，环境空间中的坐标不能直接转换点上的代数簇。对这种奇点的深入研究最终产生了广中平祐关于奇点解消的基本定理（在特征为零的双有理几何中）。这意味着，通过“显然”的双点交叉来“消解”一段绳本身的简单过程，本质上没有误导性：代数几何的所有奇点都可作为某类非常普遍的坍缩（多重过程）来恢复。这一结果常被隐式地用于将仿射几何推广到射影几何：当仿射簇在射影平面中闭合时，它在无穷远处的超平面上会出现奇点，这完全是很典型的现象。也就是说，这种奇点可当成一种（复杂的）紧化，最终得到紧流形（即强拓扑，而非扎里斯基拓扑）。

后来埃里克·克里斯托弗·齐曼传播的基本灾变理论引起了反响，吸引了弗拉基米尔·阿诺德等人。[2]他将奇点理论一词广泛用于代数几何及惠特尼、托姆等人的研究成果，在文章中明确表示不喜欢过于强调这一领域的一小部分。关于光滑奇点的基础工作被表述为奇点上等价关系的构造以及芽。从技术上讲，这涉及射流空间上李群的群作用；用不太抽象的术语研究泰勒级数随变量变化的行为，用足够多的导数确定奇点。根据阿诺德的观点，其应用将体现在经典力学的几何形式——辛几何中。

奇点在数学中造成问题的一个重要原因是，由于流形结构的失效，不再允许庞加莱对偶性。交上同调的引入是个重大进步，产生于用层恢复对偶性的尝试。最初的想法产生了诸多联系与应用，例如同调代数中的错致层概念。