投射模

投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 ${\displaystyle P}$ 是投射模，若且唯若存在另一個模 ${\displaystyle Q}$ 使得 ${\displaystyle F:=P\oplus Q}$ 是自由模。此時 ${\displaystyle P}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的一個投影態射的項。

較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質。模 ${\displaystyle P}$ 是投射模，若且唯若對任何模滿射 ${\displaystyle f:N\twoheadrightarrow M}$ 及模態射 ${\displaystyle g:P\rightarrow M}$，存在模態射 ${\displaystyle h:P\rightarrow N}$ 使得 ${\displaystyle f\circ h=g}$（請留意：在此不要求唯一性）。用交換圖表現則更明瞭：

此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇，從而引至投射對象的概念，在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念內射模。

另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下：模 ${\displaystyle P}$ 是投射模，若且唯若任何正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0}$

都誘導出正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M')\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M'')\longrightarrow 0}$

換言之，${\displaystyle \mathrm {Hom} (P,-)}$ 是正合函子；實則對任何模 ${\displaystyle M}$，函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,-)}$ 總是左正合的，而投射性相當於右正合性。由此立刻得到投射模的同調刻劃：${\displaystyle P}$ 是投射模若且唯若

${\displaystyle \forall i>0,\;\mathrm {Ext} ^{i}(P,-)=0}$