七边形

正七邊形的面積（A）可以利用其邊長（a）來計算：

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}}$。

將正七邊形的頂點與幾何中心相連可以將正七邊形分成七個扇三角形，這些三角形可再藉由邊心線將之一分為二。正七邊形的邊心距是${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$正切值的一半，而這十四個小三角形的面積就會是四分之一倍的邊心距。

其確切的代數式是三次方程${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1}$，其中的一個根為${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}}$[3]，在複數中表示為：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}}\right)}},}$

其中，複數中的虛數部最後會互相抵銷使結果為實數。這個表達式不能被全部是實數的式子重寫，也不能透過化簡消去其虛數的部分。

正七邊形的邊數7是一個皮爾龐特質數但不是費馬質數，因此不能用沒有刻度的直尺和圓規來作圖，但可以用一把有刻度的尺來作圖。這種作圖法稱為紐西斯作圖法，正七邊形也可以用摺紙作出或者用圓錐曲線作出。單用無刻度直尺和圓規不可能作出正七邊形是因為，通過觀察發現，${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$是不可约三次多项式${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-2x-1\,}$一个零點。因此這個多項式是：${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}}$的最小多項式。

然而尺規作圖仍可以作出近似的正七邊形[4]。

從內角完成正七邊形的二刻尺作圖。	外接圓半徑為${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$的正七邊形二刻尺作圖動畫。此法根據安德魯·馬太·格里森[3]基於三等分角。
僅僅使用直尺和圓規，可以近似作出正七邊形，誤差大約為${\displaystyle \approx 0.2\%}$。設A為圓周上一點，作圓弧${\displaystyle BOC}$。那麼${\displaystyle BD={1 \over 2}BC}$大約就是圓內接正七邊形的邊長。	另外一種正七邊形的近似作圖 ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB = 51.42855809...° ; 360° ÷ 7 = 51.42857142...° ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB - 360° ÷ 7 = -0.00001333...° (1 arcsec = 0.00027...°) 作圖誤差: 在外接圓半徑r = 10 km時，第一條邊的絕對誤差大約是-2.1 mm.

正七边形的近似作图

下圖顯示了一個具有約0.2％誤差的正七邊形近似作圖，近似值来自于${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{7}}\approx {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$（即${\displaystyle 0.867\,767\cdots \approx 0.866\,025\cdots }$）。此法由阿爾佈雷希特·丟勒提出[5]

若將一個七邊形的邊長以${\displaystyle \scriptstyle {S=3{\tfrac {2}{11}}}}$單位長繪製在圓半徑為${\displaystyle \scriptstyle {R=3{\tfrac {2}{3}}}}$的外接圓上時，其絕對誤差可以降低到0.00013%。

這種近似值來自於${\displaystyle \scriptstyle {{\tfrac {S}{R}}=\ 2\sin {\tfrac {\pi }{7}}\approx 1-\left({\tfrac {4}{11}}\right)^{2}}}$。這種正七邊形畫法誤差十分小，即使繪製外接圓半徑1公里大的正七邊形誤差也僅有1.1毫米。

正七邊形的對稱群。頂點的顏色是依照其對稱特性繪製

正七邊形具有14階的Dih₇二面體對稱，由於7是一個質數，因此其只有一個子群：Dih₁以及2個環形對稱群：Z₇和Z₁。

若一正七邊形邊長為a、最短對角線為b、最長對角線為c，其滿足等式${\displaystyle a<b<c}$ [6]^{:Lemma 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ （倒數和等式）