主理想整环

主理想整环的例子包括：

• ${\displaystyle K}$：任何域[4]；
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$：整数环[1]；
• ${\displaystyle K[x]}$：单变量多项式环，其中${\displaystyle K}$是域[5]；（这一命题的逆命题——如果${\displaystyle A[x]}$是主理想整环，那么${\displaystyle A}$是域——也成立[5]）除此以外，在域上的单变量形式幂级数环也是主理想整环，因为其中的所有理想都有${\displaystyle \langle x^{k}\rangle }$的形式。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$：高斯整数环[6][1]；
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$（其中${\displaystyle \omega }$是1的三次本原单位根）：艾森斯坦整数；
• 所有的离散赋值环[6]，例如p进整数环${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$[7]。

有关主理想整环上的模的关键结论是它的结构定理：如果${\displaystyle R}$是主理想整环，且${\displaystyle M}$是一个${\displaystyle R}$上的有限生成模，那么${\displaystyle M}$是循环模——也就是由一个元素生成的模——的直和。对于其中每个循环模，都存在${\displaystyle x\in R}$使得它同构于${\displaystyle R/xR}$[10]（注意：${\displaystyle x}$可能等于${\displaystyle 0}$，在这种情况下${\displaystyle R/xR=R}$）。

如果${\displaystyle M}$是主理想整环${\displaystyle R}$上的一个自由模，那么${\displaystyle M}$的所有子模也是自由模[11]。这一结论在非主理想整环上的模中不成立，例如${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$上的自由模${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$的子模${\displaystyle \langle 2,X\rangle }$就不是自由模。

在主理想整环中，任何两个元素${\displaystyle a,b}$都有最大公因数，可以通过计算理想${\displaystyle \langle a,b\rangle }$的生成元求得[12]。

所有欧几里得整环都是主理想整环[8]，但它的逆命题不成立。一个不是欧几里得整环的主理想整环的例子是环${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$[12]。这是由西奥多·默慈金首先证明的[13]，是第一个被证明不是欧几里得整环的主理想整环。在这一环中，尽管${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$和${\displaystyle 4}$有最大公因数${\displaystyle 2}$，但不存在满足${\displaystyle 0\leq |r|<4}$的${\displaystyle q,r}$使得${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$。

所有主理想整环都是唯一分解整环[14]，而它的逆命题不成立，例如环${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$是唯一分解整环但不是主理想整环[15]。

1. 所有主理想整环都是诺特环[16]。
2. 在所有交换环中，极大理想都是素理想[17]。在主理想整环中，所有非零素理想都是极大理想[12]。
3. 所有主理想整环都是整闭整环[14][18]。

以上三个条件是戴德金整环的定义，因此所有主理想整环都是戴德金整环[19]。

令${\displaystyle A}$为一个整环，则以下命题是等价的：

1. ${\displaystyle A}$是主理想整环。
2. ${\displaystyle A}$中的所有素理想都是主理想[20]。
3. ${\displaystyle A}$既是戴德金整环也是唯一分解整环。
4. ${\displaystyle A}$的每个有限生成理想都是主理想（也就是说，${\displaystyle A}$既是裴蜀整环也满足主理想的升链条件）。
5. ${\displaystyle A}$可被赋予一个戴德金–哈斯范数[5]。

所有欧几里得范数都是戴德金–哈斯范数[5]，因此(5)表明欧几里得整环都是主理想整环。(4)可以与以下结论对比：

• 一个整环是唯一分解整环当且仅当它是GCD環（其中每两个元素都有最大公因数的整环）且满足主理想的升链条件。

一个整环是裴蜀整环当且仅当其中的任何两个元素都有一个是它们的线性组合的最大公因数[20]。因此，裴蜀整环是GCD环，而(4)给出了主理想整环是唯一分解整环的另一种证法。

• 裴蜀定理

• MathWorld上的主理想整环