杨辉三角形

每個數是它左上方和右上方的數的和

各條線穿過的數之和均為斐波那契數

用楊輝三角形做成的謝爾賓斯基三角形

1. 楊輝三角形以正整數構成，數字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2. 楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
3. 楊輝三角形第2的冪行所有數都是奇數[註 1]，此為盧卡斯定理的特殊情況。
4. 第 ${\displaystyle n}$ 行的数字个数为 ${\displaystyle n}$ 个。
5. 第 ${\displaystyle n}$ 行的第 ${\displaystyle k}$ 個數字為組合數 ${\displaystyle C_{k-1}^{n-1}}$。
6. 第 ${\displaystyle n}$ 行数字和为 ${\displaystyle 2^{n-1}}$，因為第 ${\displaystyle n}$ 行是 ${\displaystyle \left(1+1\right)^{n-1}}$ 的二項展開。
7. 第 ${\displaystyle n}$ 行的数字按順序寫下所形成的數字为 ${\displaystyle 11^{n-1}}$，因為該數字是 ${\displaystyle \left(10+1\right)^{n-1}}$ 的二項展開。例如第二行 ${\displaystyle 11=11^{1}}$ ，第三行 ${\displaystyle 121=11^{2}}$，第四行 ${\displaystyle 1331=11^{3}}$，第五行 ${\displaystyle 14641=11^{4}}$，第六行 ${\displaystyle 161051=11^{5}}$（第六行之後需進位）。該規律可推廣至任何進位制，例如在九進制下：${\displaystyle 121_{9}=100_{10}}$，${\displaystyle 1331_{9}=1000_{10}}$。
8. 除每行最左側與最右側的數字以外，每个数字等于它的左上方與右上方两个数字之和（也就是說，第 ${\displaystyle n}$ 行第 ${\displaystyle k}$ 個數字等於第 ${\displaystyle n-1}$ 行的第 ${\displaystyle k-1}$ 個數字與第 ${\displaystyle k}$ 個數字的和）。這是因为有組合恒等式：${\displaystyle C_{k+1}^{n+1}=C_{k}^{n}+C_{k+1}^{n}}$。可用此性质写出整个楊輝三角形。
9. 如果 ${\displaystyle n}$ 為質數，則第 ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ 行的數中除了兩端的1以外均為 ${\displaystyle n}$ 的整數倍數。若 ${\displaystyle n}$ 為合數則不然。[註 2]
10. 按照該三角形的斜邊以及與之平行的斜線上的數所形成的數列為第 ${\displaystyle \left(n-1\right)}$ 維度的單純形數。即第一列全為1（0維），第二列為自然數形成的數列，第三列為三角形數形成的數列，第四列為四面體數形成的數列，第五列為五胞體數形成的數列，以此類推。
11. 第 ${\displaystyle p}$ 行（第 ${\displaystyle n}$ 層）的所有的數的平方和為第 ${\displaystyle \left(2p-1\right)}$ 行（第 ${\displaystyle 2n}$ 層）正中央的數字。可用該式得出 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}$。例如第五行（第四層）所有的數的平方和 ${\displaystyle 1^{2}+4^{2}+6^{2}+4^{2}+1^{2}=70}$ 是第九行（第八層）正中央的數字。
12. 將三角形左端對齊之後，沿右斜45度的對角線方向（不改變三角形形狀的話則需要按照中國象棋的馬的走法）取得的數之和為斐波那契數。
13. 將第奇數行正中央的數減去其左側（或右側）第二個數，得到的差為卡塔蘭數。
14. 將楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話，可以形成一個類似謝爾賓斯基三角形的圖形。

印度手稿中使用的 Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार)，源自賓伽羅 的公式。拉古纳特图书馆J&K手稿；公元755年

朱世杰《四元玉鉴》中的「古法七乘方圖」

波斯數學家Al-Karaji和天文學家兼詩人欧玛尔·海亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世紀都發現了這個三角形，而且還知道可以借助這個三角形找${\displaystyle n}$次根，和它跟二项式的關係。但他们的著作已不存。[2]

11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。[3]贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》[4]。

1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》[5]。

意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些概率論上的問題，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：

• Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世紀（图文无存）
• 賈憲 中國北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
• 杨辉 中國南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
• 朱世杰 中國元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
• 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）
• 阿皮亚纳斯 德国 1527
• 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
• 薛贝尔 法国 1545
• B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

• 除了1之外，所有正整數都出現有限次。
• 只有2出現剛好一次。
• 6,20,70等出現三次。
• 出現兩次和四次的數很多。
• 還未能找到出現剛好五次或七次的數。
• 120,210,1540等出現剛好六次。（OEIS:A098565）
  • 因為丟番圖方程
    ${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+2},}$
    有無窮個解[11]，所以出現至少六次的數有無窮多個。
  • 其解答，是

${\displaystyle n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,\,}$
${\displaystyle k=F_{2i}F_{2i+3}-1,\,}$

• • 其中${\displaystyle F_{n}}$表示第${\displaystyle n}$個斐波那契數（${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}$）。
• 3003是第一個出現八次的數。

• 巴斯卡三角形

• 贾宪、杨辉
• 莱布尼茨三角形