根軌跡圖

極點位置及二階系統中自然頻率及阻尼比的關係

除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比（ζ）及自然頻率（ω_n）。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益K並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如超前-滞后补偿器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用阻尼比及自然頻率的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬，確認符合需求。

回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時，回授系統閉迴路極點的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足角度條件（angle condition）的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件（magnitude condition）來計算。

假設有個回授系統，輸入信號${\displaystyle X(s)}$、輸出信號${\displaystyle Y(s)}$。其順向路徑传递函数為${\displaystyle G(s)}$，回授路徑传递函数為${\displaystyle H(s)}$。

此系統的閉迴路傳遞函數為[1]

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

因此，閉迴路傳遞函數的極點為特徵方程式${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$的根，方程式的根可以令${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統，${\displaystyle G(s)H(s)}$的乘積為有理的多項式函數，可以表示為[2]

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

其中${\displaystyle -z_{i}}$為${\displaystyle m}$個零點，${\displaystyle -p_{i}}$為${\displaystyle n}$個極點，而${\displaystyle K}$為增益。一般而言，root locus diagram會標示在不同參數${\displaystyle K}$時，傳遞函數極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意${\displaystyle K}$值下，使${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$的極點 ，但無法看出${\displaystyle K}$值變化時，極點移動的趨勢。

因為只有${\displaystyle K}$的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式${\displaystyle G(s)H(s)}$的每一個因式${\displaystyle (s-a)}$就表示一個s-平面下由${\displaystyle a}$到${\displaystyle s}$的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為角度條件。

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為${\displaystyle K}$值會變，而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的${\displaystyle K}$值，此即為量值條件。

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖[3]

根軌跡圖只能提供在增益${\displaystyle K}$變化時閉迴路極點的位置資訊。${\displaystyle K}$的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。

RL=根軌跡圖，ZARL=zero angle root locus

利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 ${\displaystyle K}$ 下的穩定性以及動態特性[4][5]。其規則如下：

• 標示開迴路的極點及零點
• 將實軸上，在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。
• 找渐近线

令P為極點的個數，Z為零點的個數，兩者相減即為渐近线的數量：

${\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,}$

漸近線和實軸的交點在${\displaystyle \alpha }$（稱為形心），往外延伸的角度為${\displaystyle \phi }$：

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}}$

其中${\displaystyle \sum _{P}}$為所有極點數值的和，${\displaystyle \sum _{Z}}$為所有明確零點數值的和

• 根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度
• 計算分離點（breakaway/break-in points）

根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

只要解開z，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點。

• 劳斯–赫尔维茨稳定性判据
• 奈奎斯特稳定判据
• 增益裕度及相位裕度
• 波德圖
• 相位裕度

• Kuo, Benjamin C., , second, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall: 329–388, 1967, ASIN B000KPT04C, LCCN 67016388, OCLC 3805225

• Ash, R. H.; Ash, G. H., , IEEE Trans. Automatic Control, October 1968, 13 (5), doi:10.1109/TAC.1968.1098980
• Williamson, S. E., , Control Magazine, May 1968, 12 (119): 404–407
• Williamson, S. E., , Control Magazine, June 1968, 12 (120): 556–559
• Williamson, S. E., , Control Magazine, July 1968, 12 (121): 645–647
• Williamson, S. E., , IEE Electronics Letters, May 15, 1969, 5 (10): 209–210, doi:10.1049/el:19690159
• Williamson, S. E., (PDF), Proc. IEE, July 1969, 116 (7): 1269–1271, doi:10.1049/piee.1969.0235

• Wikibooks: Control Systems/Root Locus
• Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial
• Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page
• The root-locus method: Drawing by hand techniques
• "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms
• "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows
• Root Locus at ControlTheoryPro.com
• Root Locus Analysis of Control Systems
• MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model
• Wechsler, E. R., (PDF), NASA: 60–64, January–March 1983 [2017-06-02], TDA Progress Report 42-73, （原始内容 (PDF)存档于2016-12-24）
• Mathematica function for plotting the root locus （页面存档备份，存于）