环论

抽象代数中，环论（英語：）是針對一種稱為环的代数结构之研究，环類似可交換群，有定義運算「+」，此外又定義另一種運算「·」（此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質）。环论研究環的結構、環的代數表現方式（或稱為modules）、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環。

环论
基礎概念 環 子環 理想 分式理想 商环 完全商環 積環 环同态 核 內自同構 弗罗贝尼乌斯自同态 代数结构 模 代數 結合代數 階化環 *-代數 環的範疇 相關結構 非結合環 李環 約爾旦環 半环 半體
交換代數 交换环 整环 整闭整环 GCD環 唯一分解整環 主理想整环 歐幾里得整環 複合環 多项式环 形式冪級數環 代數數論 代数数域 整數環 代數獨立 超越數論 超越次數 P進數 P整數 P有理數 代数几何 仿射簇
非交換代數 非交換環 除环 半本原環 單純環 交換子 非交換代數幾何 自由代數 克利福德代数 幾何代數 運算元代數

交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环理論的發展，這部份後來稱為交換代數，是現代數學中的主要領域之一。代数几何、代數數論及交換代數在本質上連結的非常緊密，因此有時很難去區分某特定數學原理屬於哪個領域。例如希尔伯特零点定理是代数几何的基本定理，但是陳述及證明時都是以交換代數的方式進行。而费马大定理問題的形式是以基本的算术方式（屬於交換代數的一部份）呈現，但其證明用到很深的代数几何及代数數論。

非交換環是指其中運算「·」不符合交換律的环，會有一些和交换环不同的的特殊特性。非交換環此一數學概念本身也在進展，而近來的也有一些研究將特定的非交換環以幾何的方式表示，例如在（不存在的）非交換空間下的函数環。這種趨勢自1980年代開始發展，也和量子群的出現同時。目前對非交換環已有多一些的認識，尤其是非交換的諾特環[1]。

在「环 (代数)」條目中，有環的定義以及其基本的概念及性質。