歐幾里得整環

一個歐幾里得整环是一整環 ${\displaystyle D}$ 及函數 ${\displaystyle v:D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}}$，使之滿足下述性質：

• 若 ${\displaystyle a,b\in D}$ 而 ${\displaystyle b\neq 0}$，則存在 ${\displaystyle q,r\in D}$ 使得 ${\displaystyle a=bq+r}$，而且 ${\displaystyle r=0}$，或者 ${\displaystyle v(r)<v(b)}$。
• 若 ${\displaystyle a}$ 整除 ${\displaystyle b}$，則 ${\displaystyle v(a)\leq v(b)}$。

函數 ${\displaystyle v}$ 可設想成元素大小的量度，當 ${\displaystyle D=\mathbb {Z} }$ 時可取 ${\displaystyle v(x):=|x|}$。

歐幾理得整環的例子包括了：

• 整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，${\displaystyle v(x)=|x|}$。
• 高斯整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$。
• 域上的多項式環（${\displaystyle v(f)=\deg f}$）與冪級數環（${\displaystyle v(f)}$ 定義為使 ${\displaystyle X^{n}|f(X)}$ 的最大非負整數 ${\displaystyle n}$）。
• 離散賦值環，${\displaystyle v(x)}$ 定義為使 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {m}}^{n}}$ 的最大非負整數 ${\displaystyle n}$，其中 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 表該離散賦值環的唯一極大理想。

利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想环，此時理想由其中 ${\displaystyle v}$-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一分解環。

並非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ 的整數環在 ${\displaystyle d=-19,-43,-67,-163}$ 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

• Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
• Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
• Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76