四角反棱柱

若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時，則這種立體是半正多面體也是均勻多面體，它只有一種邊長，若令其為a，則其高為：

${\displaystyle h=2^{-{\frac {1}{4}}}a}$

體積${\displaystyle V}$與表面積${\displaystyle A}$為：[2]

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}a^{3}{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle A=2a^{2}(1+{\sqrt {3}})}$

若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時，則這種立體的二面角能夠被唯一確定。正四角反棱柱共有兩種二面角，分別為正方形和三角形的二面角，以及三角形和三角形的二面角。[3]

其中，正方形和三角形的二面角為：

${\displaystyle \angle }$正方形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\right)}$[4]${\displaystyle \approx 1.81228288\approx 103.836160479^{\circ }}$

而三角形和三角形的二面角為：

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}-1}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-2{\sqrt {2}}}{3}}\right)}$[4]${\displaystyle \approx 2.22619544\approx 127.551602906^{\circ }}$

四角反錐台是指存在錐度的四角反棱柱，也就是底面積與頂面積大小不同的四角反棱柱。世界貿易中心一號大樓實際上是這種形狀。[10]

四角反棱柱 （頂面和底面全等）

四角反錐台 （頂面和底面面積不相等）

扭曲四角柱可以利用與四角反棱柱相同的頂點布局來構造（可以是順時針或逆時針）。其可以視為從四角反棱柱的四條稜上各移除一個四面體所構成的立體。然而，在此之後，如果不添加新頂點，就不能將其三角剖分成若干四面體。扭曲四角柱具有均勻解的一半對稱性：D₄群，階數為4。[11][12]

交叉四角反棱柱是一種星形多面體，其拓樸結構等價於四角反棱柱，並且與四角反棱柱有著相同的頂點排佈，但其不能成為均勻多面體，因為其側面僅能以等腰三角形的形式存在。交叉四角反稜柱的頂點布局為3.3/2.3.4，表示其中有一個反向相接的三角形，以至於其頂點圖呈現交叉四邊形。其具有d_4d的二面體群對稱性，階數為8。