二十面体

凸正二十面體通常簡稱為正二十面體，是五個柏拉圖立體之一，其在施萊夫利符號中可以用{3, 5}來表示，其共有20個三角形面，且每個頂點都是5個正三角形的公共頂點[2]，並且這些面在頂點周圍以正五邊形之邊的排列方式進行排列，換言之即凸正二十面體的頂點圖為正五邊形。[3]

凸正二十面體的對偶多面體是凸正十二面體[2]，施萊夫利符號{5, 3}包含了12個正五邊形面，每個頂點都是3個正五邊形的公共頂點。[4]

大二十面體是四個克卜勒－龐索立體之一，其在施萊夫利符號中可以用{3, 5/2}來表示，與凸的正二十面體有相同的面數、邊數和頂點數，差別在於頂點圖的不同：大二十面體的頂點圖是五角星而非五邊形，導致其成為自相交的多面體。[1]

大二十面體的對偶多面體為大星形十二面體[1]，施萊夫利符號{5/2, 3}包含了12個正五角星面，每個頂點都是3個正五角星的公共頂點。[5]

五角十二面體對稱性的二十面體

正二十面體可以被形變或標記（在面上著上不同顏色或標上不同標記並將不同顏色或標記的面視為相異以表示不同的對稱性）為較低的五角十二面體對稱性[8]，這個立體又稱扭稜八面體（考克斯特扭稜）、扭稜四面體（康威扭稜）或偽二十面體。其也可以視為交錯的截角八面體。如果所有三角形都是正三角形，那麼也可以透過對8和12個三角形的三角形組著上不同顏色以將其視為相異來區分對稱性。

與之類似的十二面體還有耶森二十面體。耶森二十面體同樣擁有與正二十面體相同的面數、邊數、頂點數，但其面的形狀、二面角和連接方式略有不同。[9]

耶森二十面體

正二十面體（左）與耶森二十面體（右）的差異

正十八角柱

十八角柱是一種底面為十八邊形的柱體，是二十面體的一種，其由20個面、36個頂點和54個邊組成。正十八角柱代表每個面都是正多邊形的十八角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個十八邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 4{.}4{.}18}$表示，在施萊夫利符號中可以利用{18}×{} 或 t{2, 18}來表示；在考克斯特—迪肯符号中可以利用來表示；在威佐夫符號中可以利用2 18 | 2來表示；在康威多面體表示法中可以利用P18來表示。若正十八角柱底面邊長為${\displaystyle s}$、高為${\displaystyle h}$，則其體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為[10]：

${\displaystyle V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}{2}}\approx 25.5208hs^{2}}$

${\displaystyle S=9s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{18}}\right)\approx 9s\left(2h+5.67128s\right)}$

十九角錐

十九角錐是一種底面為十九邊形的錐體，是二十面體的一種，其具有20個面、38條邊和20個頂點，其對偶多面體是自己本身[11]。正十九角錐是一種底面為正十九邊形的十九角錐。若十九角錐的底面之邊長為${\displaystyle s}$、高為${\displaystyle h}$則這個正十九角錐的體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為[11]：

${\displaystyle V={\frac {19hs^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}}{12}}\approx 9.4884hs^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {19s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{19}}}}+s\cot {\frac {\pi }{19}}\right)}{4}}\approx 3.75s\left({\sqrt {4h^{2}+35.9121s^{2}}}+5.99267s\right)}$

菱形二十面體

菱形二十面體是一個由20個全等的菱形所組成的環帶多面體。其可以透過移除菱形三十面體的10個中間面來構成。雖然菱形二十面體的20個面皆全等，但其不滿足面可遞的特性，換句話說，即菱形二十面體存在一組兩個面，這兩個面透過將一個面經由若干旋轉、平移和鏡射整個立體將該面的位置變換到另外一個面的位置後，其面與附近的結構並不佔有相同的空間區域。若菱形二十面體的邊長為${\displaystyle a}$，則其體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為[12]：

${\displaystyle V=2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a^{3}}$

${\displaystyle S=8{\sqrt {5}}a^{2}}$

正六角罩帳

六角罩帳是指以六邊形為底的罩帳，是一種二十面體，由1個六邊形面、1個十二邊形面、6個五邊形面和12個三角形面組成，共有20個面、42條邊和24個頂點，其中六邊形與十二邊形互相平行，三角形與五邊形交錯地圍繞軸分佈在周圍。

以正六邊形為底的六角罩帳稱為正六角罩帳，其僅有頂面和底面為正多邊形，分別為頂面的正六邊形和底面的正十二邊形，側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形，但有正三角形面時，五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形；有正五邊形面時，三角形會出現等腰三角形，故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳[13]。

正六角罩帳的對稱群為C_6v群，階數為12階。

正九角反角柱

九角反角柱是一種底面為九邊形的反角柱，由20個面、36條邊和18個頂點組成。正九角反角柱代表每個面都是正多邊形的九角反角柱，其每個頂點都是3個正三角形和1個正九邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 3{.}3{.}3{.}9}$表示，在施萊夫利符號中可以用${\displaystyle s\left\{{\begin{matrix}2\\9\end{matrix}}\right\}}$來表示[14]。邊長為單位長的正九角反角柱體積${\displaystyle V}$為以下多項式的正實根，約為5.43974[14]：

${\displaystyle 64x^{6}-1872x^{4}-648x^{2}+81}$

表面積${\displaystyle S}$為以下多項式的正實根，約為20.1579[14]：

${\displaystyle x^{6}-486x^{4}+32805x^{2}-177147}$

雙十角錐

雙十角錐是一種以十邊形為基底的雙錐體，是二十面體的一種，其可以視為兩個十角錐底面對底面疊合成的立體，由20個面、30條邊和12個頂點組成[15]，對偶多面體為十角柱[15]。

雙十角錐在施萊夫利符號中可以用{ }+{10}來表示，在考克斯特符號中可以用來表示，在康威多面體表示法中可以用dP10來表示。

十方偏方面體是一種以十邊形為底的偏方面體，由20個全等的鳶形組成，為十角反角柱的對偶多面體[16]，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第八個成員。所有十方偏方面體都有20個面、40條邊和22個頂點[16]，其中，頂點有兩種，分別為10個鳶形的公共頂點和3個鳶形的公共頂點。

十方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上傳遞，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀[17]，然而二十面骰通常以正二十面體居多[18]。

十方偏方面體在施萊夫利符號中可以用{ }⨁{10}來表示，在考克斯特符號中可以用或來表示，在康威多面體表示法中可以用dA10來表示。

部分星形均勻多面體具有20個面，分別為小立方立方八面體[19]、大立方截半立方體[20]和立方截角立方八面體[21]。

• 
  小立方立方八面體
• 
  大立方截半立方體
• 
  立方截角立方八面體

以下是屬於詹森多面體的二十面體：[22]

J22	J35	J36	J59	J60	J92
正三角帳塔反角柱	同相雙三角帳塔柱	異相雙三角帳塔柱	對二側錐十二面體	間二側錐十二面體	三角廣底球狀罩帳
16個三角形 3個正方形   1個六邊形	8個三角形 12個正方形	8個三角形 12個正方形	10個三角形   10個五邊形	10個三角形   10個五邊形	13個三角形 3個正方形 3個五邊形 1個六邊形