扭棱立方体

幾何學中,扭棱立方體英語:[1]),又稱擬立方體英語:[2][3])是一種由38個面組成的阿基米德立體[4],由6個正方形和32個正三角形組成,共有60條邊和24個頂點[5]

扭棱立方体
扭棱立方体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別半正多面體
對偶多面體五角二十四面體在维基数据编辑
識別
名稱扭棱立方体
參考索引U12, C24, W17
鮑爾斯縮寫
snic在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
施萊夫利符號
sr{4,3}在维基数据编辑
威佐夫符號
| 2 3 4
康威表示法sC在维基数据编辑
性質
38
60
頂點24
歐拉特徵數F=38, E=60, V=24 (χ=2)
組成與佈局
面的種類正三角形
正方形
面的佈局
(8+24)個{3}
6個{4}
頂點圖3.3.3.3.4
對稱性
對稱群O群
特性
對掌性
圖像
立體圖
3.3.3.3.4
頂點圖

五角二十四面體
對偶多面體

展開圖
扭棱立方體的結構,紅色是扭稜前的正方形面、藍色三角形代表扭稜前立方體頂點、黃色代表扭稜所產生的新的面

性質

扭棱立方體是一個手性多面體[6],也就是說,該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同,無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀[7][8][9]。扭棱立方體是一種阿基米德立體,其所有的面都是正多邊形,且每個頂點都是4個三角形和一個正方形,其頂點圖計為3.3.3.3.4或34.4[10],由於所有頂點相等,因此也稱為半正多面體

體積與表面積

邊長為單位長的扭棱立方體表面積體積為:

其中t表示三波那契常數

由於扭棱立方體由6個正方形和32個正三角形組成,因此其表面積即6倍的正方形面積和32倍的正三角形面積

二面角

扭棱立方體有兩種不同角度二面角,分別是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角餘角的餘弦值是三次方程零點、三角形-正方形二面角餘角的餘弦值是六次方程零點

三角形-三角形二面角以反正割表示為:

換算成角度約為153.23度或153度14分04秒。

三角形-正方形二面角為:

換算成角度約為142.98度或142度59分00秒。

其中R為邊長為單位長之扭棱立方體外接球半徑

正交投影

扭棱立方體的正交投影
建立於 正三角形面 正方形面
圖像
投影對稱性 [3] [4]+ [2]
對偶圖像

球面鑲嵌


正方形為中心
正投影圖 球極平面投影

幾何關聯

扭棱立方體可透過扭曲小斜方截半立方體的正方形面得到

扭棱立方體可透過將立方體的正方形面向外拉,使之不再相連,然後再將正方形面旋轉一個角度,再將空隙以三角形補滿而得


扭棱立方體

立方體

小斜方截半立方體

扭棱立方體

相關多面體及鑲嵌

扭棱立方體是立方體經過扭棱變換後的結果,其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有:

對稱性: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
node_1 4 node 3 node  node_1 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node_1  node 4 node 3 node_1  node_1 4 node 3 node_1  node_1 4 node_1 3 node_1  node_h 4 node_h 3 node_h  node_h 3 node_h 4 node 
node_h0 4 node_1 3 node 
= nodes_11 split2 node 
node_h0 4 node_1 3 node_1 
= nodes_11 split2 node_1 
node_h0 4 node 3 node_1 
= nodes split2 node_1 
node_1 4 node_h 3 node_h  node_h1 4 node 3 node  =
nodes_10ru split2 node  or nodes_01rd split2 node 
node_h1 4 node 3 node_1  =
nodes_10ru split2 node_1  or nodes_01rd split2 node_1 
node_h 3 node_h 4 node_h0  =
node_h split1 nodes_hh 





對偶多面體
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
node_f1 4 node 3 node  node_f1 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node_f1  node 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node_f1 3 node_f1  node_fh 4 node_fh 3 node_fh  node_fh 4 node 3 node  node_fh 4 node 3 node_f1  node_fh 3 node_fh 4 node 
node_f1 3 node 3 node_f1  node_f1 3 node_f1 3 node_f1  node 3 node_f1 3 node  node_f1 4 node_fh 3 node_fh  node_f1 3 node 3 node  node 3 node_f1 3 node_f1  node_fh 3 node_fh 3 node_fh 
扭稜立體
原像
正四面體

立方體

正八面體

正十二面體

正二十面體
扭稜
扭棱四面體
sr{3,3}
扭棱立方体
sr{4,3}
扭棱八面體
sr{3,4}
扭棱十二面体
sr{5,3}
扭棱二十面体
sr{3,5}
完全扭稜
完全扭稜四面體
β{3,3}

完全扭稜立方體
β{4,3}

二複合二十面體
β{3,4}

完全扭稜十二面體
β{5,3}

完全扭稜二十面體
β{3,5}

參見

參考文獻

  1. Wenninger, M. J. "The Snub Cube." Model 17 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.
  2. Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. [ASIN B0000DN8M2 網路書源ASIN B0000DN8M2]
  3. Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
  4. Geometry Technologies. . scienceu.com. 1999-07-28. (原始内容存档于2000-03-08).
  5. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  6. . eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22]. (原始内容存档于2012-03-16).
  7. Coxeter, H. S. M., , John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
  8. . dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24).
  9. . dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24).
  10. Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202

外部連結

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