圆

• 直角坐标系中的定义：${\displaystyle (x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}}$，其中r是半径，${\displaystyle (x_{m},y_{m})}$是圆心坐标。
• 参数方程的定义：${\displaystyle x=x_{m}+a\cos \theta }$，${\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }$。
• 极坐标方程的定义（圆心在原点）：${\displaystyle r=a}$。

圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆的圆心（通常用${\displaystyle O}$表示）。[6]

圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦（英語：）。如图2，${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$分别为圆上任意两点，那么${\displaystyle {\overline {AB}}}$就是圆的弦。

圆周上任意两点间的部分叫做弧（英語：），通常用符号${\displaystyle \frown }$表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[6]

• 直径（英語：）：经过圆心的弦稱作直径（用${\displaystyle d}$表示）。[2]
• 半径（英語：）：在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，半径用字母${\displaystyle r}$表示。

${\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}$

假如一条直线与圆相交僅有一个交点，那么称这条直线是这个圆的切线，与圆相交的点叫做切点。[2]如下图，直线${\displaystyle {\overline {QP}}}$与圆只有一个交点${\displaystyle P}$，那么${\displaystyle {\overline {QP}}}$就是圆的切线。过圆上一点的切线：设该点为${\displaystyle P(x_{o},y_{o})}$，圆的方程为${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$，则圆在该点的切线方程为：${\displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}$

• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
• 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
• 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

一条直线与一条弧线有两个公共点，这条直线是这条曲线的割线（英語：）。[2]如图，直线${\displaystyle {\overline {QO}}}$与圆有两个公共点，那么直线${\displaystyle {\overline {QO}}}$就是圆的割线。

θ 的正割是从O到Q的距离。

圆的一周的长度称为圆的周长（记作${\displaystyle C}$）。圆的周长与半径的关系是：

${\displaystyle C=\pi d}$ 或 ${\displaystyle C=2\pi r}$，

其中${\displaystyle \pi }$是圆周率。

圆的面积与半径的关系是：${\displaystyle A=\pi r^{2}}$。

圆既是轴对称图形又是中心对称图形，圆的对称轴为经过圆心${\displaystyle O}$的任意直线，圆的对称中心为圆心${\displaystyle O}$。[6]

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距[lower-alpha 2]相等，此定理也称“一推三定理”。[6]

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。[6]
如上图，${\displaystyle M}$为圆心，${\displaystyle A,B,C}$分别为圆周上的点，那麼：${\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}$

证明：${\displaystyle \because BM=CM,AM=CM}$

${\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}$

${\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}$

${\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}$

${\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}$

即：${\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}$

圆周角定理的推论：

1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
2. 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。
3. 若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为“知二推三”。

• 平分弦所对的优弧
• 平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是平分弦所对的两条弧）
• 平分弦（不是直径）
• 垂直于弦
• 经过圆心

1. BE过圆心O，AD=DC，则BE垂直AC并平分AC、AEC两条弧。即“平分非直径的弦的直径垂直于弦并平分弦所对的两弧。”
2. AD=DC且BE垂直AC，则BE过圆心O且平分AC、AEC两条弧。即“弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的两弧。”
3. BE是直径，${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$（${\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}$）＝${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$（${\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}$），则BE过圆心O，${\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}$（${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$）＝${\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}$（${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$）。即“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧。”

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。[2]
在方程${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$中，若圆心${\displaystyle (a,b)}$为定点，${\displaystyle r}$为参变数，则它表示同心圆的圆系方程。若${\displaystyle r}$是常量，${\displaystyle a}$（或${\displaystyle b}$）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于${\displaystyle x}$轴或${\displaystyle y}$轴）的圆系方程。

• 过两圆${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}$与${\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}$交点的圆系方程为：

  ${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0\quad (\lambda \neq -1).}$

• 过直线${\displaystyle Ax+By+C=0}$与圆${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}$交点的圆系方程为：

  ${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (Ax+By+C)=0.}$

• 过两圆${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}$与${\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}$交点的直线方程为：

  ${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0.}$

截面為圓的三維形狀有：

• 球體
• 扁球體
• 圓錐體
• 圓柱體
• 圆台

• 外接圓
• 內切圓
• 旁切圓

• 當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形面积最大。[8]

• 化圓為方是指用尺规作图的方法畫出一個和已知圓面積相同的正方形。已经证明这是不可能的。[9]
• 塔斯基分割圓問題要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。
• 高斯圆问题。