白雜訊

一個隨機向量 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 為一個白色隨機向量若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件：

${\displaystyle \mu _{w}=\mathbb {E} \{\mathbf {w} \}=0}$

${\displaystyle R_{ww}=\mathbb {E} \{\mathbf {w} \mathbf {w} ^{T}\}=\sigma ^{2}\mathbf {I} }$

意即它是一個平均值為零的隨機向量，並且它的自相關函數是單位矩陣的倍數。

一個時間連續隨機過程${\displaystyle w(t)}$ ，其中 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$， 為一個白雜訊若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件：

${\displaystyle \mu _{w}(t)=\mathbb {E} \{w(t)\}=0}$

${\displaystyle R_{ww}(t_{1},t_{2})=\mathbb {E} \{w(t_{1})w(t_{2})\}=(N_{0}/2)\delta (t_{1}-t_{2})}$

意即它是一個對所有時間其平均值為零的隨機過程，並且它的自相關函數是狄拉克δ函數，有無限大的功率。

由上述自相關函數可推出以下的功率譜密度。

${\displaystyle S_{xx}(\omega )=(N_{0}/2)\,\!}$

由於δ函數的傅立葉變換為1。而對於所有頻率來說，此功率譜密度是一樣的。因此這是對白雜訊之「白色」性質在頻域的表述。

假设随机向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 有协方差矩阵 ${\displaystyle K_{xx}}$，由于这个矩阵是 共轭对称和半正定，根据线性代数中的谱定理，我们可以用以下方法对角线或者分解矩阵，

${\displaystyle \,\!K_{xx}=E\Lambda E^{T}}$

其中 ${\displaystyle E}$ 是特征向量的正交矩阵，${\displaystyle \Lambda }$ 是特征值的对角矩阵。

通过对白色向量 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 进行下面变换我们可以模拟这个平均为${\displaystyle \mathbf {\mu } }$、协方差矩阵为${\displaystyle K_{xx}}$的随机向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 的一阶和二阶矩量属性：

${\displaystyle \mathbf {x} =H\,\mathbf {w} +\mu }$

其中

${\displaystyle \,\!H=E\Lambda ^{1/2}}$

这样，这个变换输出的期望是

${\displaystyle \mathbb {E} \{\mathbf {x} \}=H\,\mathbb {E} \{\mathbf {w} \}+\mu =\mu }$

协方差矩阵是

${\displaystyle \mathbb {E} \{(\mathbf {x} -\mu )(\mathbf {x} -\mu )^{T}\}=H\,\mathbb {E} \{\mathbf {w} \mathbf {w} ^{T}\}\,H^{T}=H\,H^{T}=E\Lambda ^{1/2}\Lambda ^{1/2}E^{T}=K_{xx}}$

白化一个平均值为 ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$、协方差矩阵为 ${\displaystyle K_{xx}}$ 的向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 的方法是执行下面的计算：

${\displaystyle \mathbf {w} =\Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )}$

这样，这个变换输出的期望是

${\displaystyle \mathbb {E} \{\mathbf {w} \}=\Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,(\mathbb {E} \{\mathbf {x} \}-\mathbf {\mu } )=\Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,(\mu -\mu )=0}$

协方差矩阵

${\displaystyle \mathbb {E} \{\mathbf {w} \mathbf {w} ^{T}\}=\mathbb {E} \{\Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{T}E\,\Lambda ^{-1/2}\,\}}$

${\displaystyle =\Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,\mathbb {E} \{(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{T}\}E\,\Lambda ^{-1/2}\,}$

${\displaystyle =\Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,K_{xx}E\,\Lambda ^{-1/2}}$

对角线化 ${\displaystyle K_{xx}}$ 得到：

${\displaystyle \Lambda ^{-1/2}\,E^{T}\,E\Lambda E^{T}E\,\Lambda ^{-1/2}=\Lambda ^{-1/2}\,\Lambda \,\Lambda ^{-1/2}=I}$

这样，通过上面的变换就可以将随机向量白化为平均值为0、协方差矩阵是单位矩阵的随机向量。

将白噪声注入线性时不变滤波器中模拟任意随机过程的一阶和二阶矩

我们可以使用固定的平均值 ${\displaystyle \mu }$、协方差函数

${\displaystyle K_{x}(\tau )=\mathbb {E} \left\{(x(t_{1})-\mu )(x(t_{2})-\mu )^{*}\right\}{\mbox{ where }}\tau =t_{1}-t_{2}}$

和功率谱密度

${\displaystyle S_{x}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }K_{x}(\tau )\,e^{-j\omega \tau }\,d\tau }$

模拟任何广义的稳定、连续时间随机过程 ${\displaystyle x(t):t\in \mathbb {R} \,\!}$

我们可以使用频域技术模拟这个信号。

由于 ${\displaystyle K_{x}(\tau )}$ 是个半正定的埃尔米特矩阵，所以 ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ 是实数并且当且仅当 ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ 满足佩维维纳标准（Paley-Wiener criterion）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(S_{x}(\omega ))}{1+\omega ^{2}}}\,d\omega <\infty }$

时可以 factored 为

${\displaystyle S_{x}(\omega )=|H(\omega )|^{2}=H(\omega )\,H^{*}(\omega )}$

如果 ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ 是有理函数，我们可以将它分解成极点-零点格式

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\frac {\Pi _{k=1}^{N}(c_{k}-j\omega )(c_{k}^{*}+j\omega )}{\Pi _{k=1}^{D}(d_{k}-j\omega )(d_{k}^{*}+j\omega )}}}$

选择最小相位 () ${\displaystyle H(\omega )}$ 保证极点和零点都位于S 面的左侧，这样我们就可以使用 ${\displaystyle H(\omega )}$ 作为滤波器的传递函数来模拟 ${\displaystyle x(t)}$。

我们可以构建下面的线性、非時變 () 滤波器来模拟 ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{H(\omega )\right\}*w(t)+\mu }$

其中 ${\displaystyle w(t)}$ 是有如下一阶和二阶矩属性的连续时间的白噪声：

${\displaystyle \mathbb {E} \{w(t)\}=0}$

${\displaystyle \mathbb {E} \{w(t_{1})w^{*}(t_{2})\}=K_{w}(t_{1},t_{2})=\delta (t_{1}-t_{2})}$

这样，结果信号 ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$ 与所期望的信号 ${\displaystyle x(t)}$ 一样有同样的二阶矩量属性。

任意随机过程 x(t) 输入一个线性时不变滤波器，滤波器将 x(t)白化为白噪声

假设我们有一个广义的稳定、连续时间随机过程 ${\displaystyle x(t):t\in \mathbb {R} \,\!}$，与上面定义的信号同样的平均值 ${\displaystyle \mu }$、 协方差函数 ${\displaystyle K_{x}(\tau )}$ 和功率谱密度 ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ 。

我们可以使用频域技术 白化 这个信号，用上面的过程 factor 功率谱密度 ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ 。

选择最小相位 ${\displaystyle H(\omega )}$ 得到极点和零点都位于s 面左侧，这样就可以用下面的反滤波器白化${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle H_{inv}(\omega )={\frac {1}{H(\omega )}}}$

选择的最小相位滤波器保证逆滤波器稳定的。另外，必须保证 ${\displaystyle H(\omega )}$ 在所有 ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ 上都严格为正，这样 ${\displaystyle H_{inv}(\omega )}$ 就不会有任何 奇点。

白化过程的最终格式如下所示：

${\displaystyle w(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{H_{inv}(\omega )\right\}*(x(t)-\mu )}$

这样 ${\displaystyle w(t)}$ 就是一个白色噪声随机过程，它的平均值为零、功率谱密度为

${\displaystyle S_{w}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{\mathbb {E} \{w(t_{1})w(t_{2})\}\right\}=H_{inv}(\omega )S_{x}(\omega )H_{inv}^{*}(\omega )={\frac {S_{x}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}=1}$

注意这个功率谱密度 对应于 ${\displaystyle w(t)}$ 的协方差函数的 δ函數。

${\displaystyle K_{w}(\tau )=\,\!\delta (\tau )}$