四面半六面體

四面半六面體是一個半多面體，其名稱中的「半」表示部分的面來自於正多面體[8]，但數量僅有正多面體的一半[9]。在這個立體中，3個正方形來自於正六面體（俗稱立方體），但數量僅有正六面體的一半，因此稱為半六面體。[4]此外，半多面體來自於正多面體的面也會與其原始正多面體的面有著相同的朝向，例如立方體的6個面，兩兩一組分別面向3個相互垂直的方位，而對應到這個立體的3個正方形面：其分別面向3個相互垂直的方位。[2]

四面半六面體

四面半六面體的其中一個面

半刻面多面體的特性也意味著部份面會通過多面體的幾何中心，並互相相交。[1]這個立體在視覺外觀上，每個正方形被分成四個直角三角形，但只有2個直角三角形可見，其餘被三角形面遮蔽。[2]

這個立體共享了正八面體的頂點排列方式[2]，因此其頂點座標與正八面體相同[10][11][12]：

( ±1, 0, 0 );

( 0, ±1, 0 );

( 0, 0, ±1 ).

四面半六面體的二面角僅有一種，即正方形面與三角形面的交角，其值為三的平方根倒數的反餘弦值[13]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.955316618\approx 54.73561^{\circ }}$

四面半六面體可以展開為展開圖，然而其有部分面自相交，因此無法實際用「自相交」版的展開圖來製作其模型。而若將其轉變為簡單多面體則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，因此自相交的正方形會被分割為4個等腰直角三角形。[2]四面半六面體轉換為簡單多面體後共有16個面。[2][14]

四面半六面體的展開圖， 虛線為自相交的位置。

四面半六面體做為簡單多面體時 的展開圖

同時，其拓樸結構可以視為與截半立方體半形同構，因此這個立體的拓樸結構也可以視為是一種擬正則地區圖（quasiregular map）；四面半六面體也可以視為截半立方體半形浸入三維空間所形成的立體。[15]

四面半六面體的表面是一個不可定向的曲面[15]，即無法定義表面上特定點屬於內部或外部，因為任何點都可以在不打洞的情況下經由表面找到一個路徑連接該點對應的背面的位置，這個特性與克萊因瓶類似[16]。四面半六面體是唯一一種歐拉特徵數為1的均勻多面體[16]，故其為投影多面體，其在实射影平面上生成的曲面與羅馬曲面類似。[17]

羅馬曲面

刻面八面體是指不改變正八面體的頂點的情況下，將正八面體的面替換所形成的幾何結構。四面半六面體是正八面體經過「半刻面」的結果；「半刻面」中的「半」表示其會產生通過幾何中心的面[3]。另一種正八面體的刻面方式是將正八面體的8個三角形保留其中6個，並加入3個通過內部的折四邊形，這種刻面八面體又稱為反柱刻面八面體[3]。

反柱刻面八面體

反柱刻面八面體的頂點圖

由正八面體的頂點構成，但邊或面連結方式與正八面體相異的立體，較知名的幾個有：

• 半刻面八面體：面互相相交，部分面過幾何中心。[3]
• 反柱刻面八面體：面同樣互相相交，也過其幾何中心，但屬於反柱體對稱性。[3]
• 皮特里八面體：面換成正八面體的皮特里多邊形。[26]

正八面體

半刻面八面體

反柱刻面八面體

皮特里八面體

這個立體為柏拉圖立體半刻面後而成，其他也由柏拉圖立體半刻面而成的立體有：[3]

正四面體	立方體	正八面體
(無「半刻面」的結果)	半刻面立方體	半刻面八面體

皮特里八面體

(以不同顏色表示每個面)
類別	皮特里對偶 正則地區圖
對偶多面體	C4:{4,6}3
數學表示法
施萊夫利符號	{3,4}π {6,4}3 {6,4}4,0[28]
性質
面	4
邊	12
頂點	6
歐拉特徵數	F=4, E=12, V=6 （χ=-2）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	點群：Oh, [4,3], (*432) 作為正則地區圖：S4×C2, 48元素[29]
特性
扭歪、正則

皮特里八面體是正八面體的皮特里對偶，可以透過將原有正八面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里八面體為由正八面體的皮特里多邊形構成的立體[26]。由於正八面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里八面體是一種虧格為4的不可定向立體[29]，由4個面、12條邊和6個頂點組成，其中，每個面都是扭歪六邊形，每個頂點都是4個扭歪六邊形的公共頂點。[29]

正八面體的皮特里多邊形

構成皮特里八面體的扭歪六邊形面

皮特里八面體與正八面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里八面體的皮特里對偶為正八面體，換句話說，即皮特里八面體的皮特里多邊形為正三角形[29][30]。

拓樸結構與皮特里八面體互相對應的正則地區圖其在施萊夫利符號中可以用{6,4}表示，其意義代表每個頂點都是4個六邊形的公共頂點。相同的拓樸結構可透過將正四面體的頂點所有替換成交叉蓋，並且將所有稜替換為四價頂點，同時將所有面替換成邊數為原來邊數兩倍的面來構成。[29][31]其對應的對偶多面體在施萊夫利符號中可以用{4,6}表示，其意義代表每個頂點都是6個四邊形的公共頂點，並具有6個面、12條邊和4個頂點[32]。

皮特里八面體

以正則地區圖表示的皮特里八面體

皮特里八面體的對偶多面體以正則地區圖表示