筛法

下為此文表記的注意事項：

在文獻中，人們常將序列集合${\displaystyle {\mathcal {A}}}$與${\displaystyle A}$本身等同，也就是說，可以將${\displaystyle {\mathcal {A}}}$表示成${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{s:s\leq x\}}$以定義序列${\displaystyle {\mathcal {A}}=(a_{n})}$；

此外，在文獻中${\displaystyle A_{d}(x)}$這和有時以集合${\displaystyle A_{d}(x)}$的元素個數${\displaystyle |A_{d}(x)|}$表示；然而此處我們因為已經將${\displaystyle A_{d}(x)}$定義為元素個數之故，因此此處我們以 ${\displaystyle \mathbb {P} }$表示質數的集合，並以${\displaystyle (a,b)}$表示${\displaystyle a}$與${\displaystyle b}$的最大公因數。

我們可透過默比烏斯函數及一組由${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中的元素生成的函數${\displaystyle A_{d}(x)}$，將篩選函數表述為一個稱為「勒讓德等式」（Legendre's identity）的函數：

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)A_{d}(x)}$

其中${\displaystyle A_{d}(x)}$的形式如下：

${\displaystyle A_{d}(x)=\sum \limits _{n\leq x,n\equiv 0{\pmod {d}}}a_{n}.}$

設${\displaystyle z=7}$及${\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbb {P} }$，由於默比烏斯函數對所有的質數都呈負值之故，因此有下式：

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\mathcal {A}},\mathbb {P} ,7)&=A_{1}(x)-A_{2}(x)-A_{3}(x)-A_{5}(x)+A_{6}+A_{10}+A_{15}-A_{30}.\end{aligned}}}$

我們可以假定說${\displaystyle A_{d}(x)}$可以下式表達：

${\displaystyle A_{d}(x)=g(d)X+r_{d}(x)}$

其中${\displaystyle g(d)}$是一個「密度」（density），也就是有如下形式的積性函數：

${\displaystyle g(1)=1,\qquad 0\leq g(p)<1\qquad p\in \mathbb {P} }$

此外，此處的${\displaystyle X}$是${\displaystyle A_{1}(x)}$的估計，而${\displaystyle r_{d}(x)}$則是餘項，因此篩函數可變為以下的形式：

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=X\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)g(d)+\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)r_{d}(x)}$

或簡單地說，

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=XG(x,z)+R(x,z).}$

我們可透過找出${\displaystyle S}$、${\displaystyle G}$及${\displaystyle R}$的上下界來估計篩函數。

篩函數的部分和會交替性地大於跟小於集合大小本身，而其餘項最終會變得非常大。瑋哥·布朗解決這問題的方法，是將篩函數中的${\displaystyle \mu (d)}$以一個包含受限默比烏斯函數的權重序列${\displaystyle (\lambda _{d})}$取代。透過選取兩個適當的序列${\displaystyle (\lambda _{d}^{-})}$及${\displaystyle (\lambda _{d}^{+})}$並將篩函數以${\displaystyle S^{-}}$及${\displaystyle S^{+}}$表示，可得到原始篩函數的下界與上界：

${\displaystyle S^{-}\leq S\leq S^{+}.}$[3]

另由於${\displaystyle g}$是積性函數之故，因此也可研究下式：

${\displaystyle \sum \limits _{d\mid n}\mu (d)g(d)=\prod \limits _{\begin{array}{c}p|n;\;p\in \mathbb {P} \end{array}}(1-g(p)),\quad \forall \;n\in \mathbb {N} .}$