cis函數

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$[1][12]

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$[1]

根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

上述性質是當${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$都是複數時成立。在${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$都是實數時，有以下不等式：

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta }$

cocis函數，正好跟cis上下顛倒，周期相同，但是位移了${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

就如同三角函數，我們可以令：${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta }$，其可用於誘導公式來化簡某些特定的${\displaystyle \operatorname {cis} }$函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}}$

有恆等式:

${\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta }$

cish函數（${\displaystyle \cosh +i\sinh }$）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

${\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}$

然而當中的${\displaystyle i}$若定義為負一的平方根，則其會變為[17]：

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}$

雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數${\displaystyle z=x+jy}$，其中${\displaystyle x,y}$是實數，而量${\displaystyle j}$不是實數，但${\displaystyle j^{2}}$是實數。選取${\displaystyle j^{2}=-1}$，得到一般複數。取${\displaystyle +1}$的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為雷夫·赫特利於1942提出，其定義為${\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}$，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換[18][19]：

${\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}$

cas函數存在一些恆等式：

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}$

角和公式：

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}$

微分：

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$