質數階乘

質數階乘(又稱:階乘)是所有小於或等於該數的質數自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2、3、5、7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值,寫作pn#。例:第個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。 質數階乘與階乘不同於,質數階乘是質數乘積階乘自然數乘積。 質數階乘由Harvey Dubner定義並命名。

pn# 是計算第n質數階乘函數
質數階乘n#(紅色的)與 階乘n!(綠色的)的比較

用質數定義

n個質數pn質數階乘pn#定義為前n個質數的[1][2]

其中pk是第k個質數。

例如,p5#代表前五個質數的乘積:

前幾個質數階乘pn#是:

2630210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...OEIS數列A002110

並定義p0# = 1 為空積

質數階乘pn#的漸進遞增為:

[2]

其中:

用自然數定義

一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義為:[1][3]

其中,π(n)是質數計數函數OEIS數列A000720,表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於:

例如,12# 代表質數≤ 12:

因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:

前幾個自然質數階乘n#是:

12663030210、 210、 210、 210、 2310、 2310

不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因為12為合成數。

n#自然對數是第一個切比雪夫函數,记為。換句話說,若是不大於n的質數的質數階乘,則,或等價地,[4]

質數階乘n#的漸進遞增為:

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。(參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式

恆等式

黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function 表示:

質數階乘列表(部分)

n n# pn pn#
0 1 無質數 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

參見

參考文獻

  1. Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
  1. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  2. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  3. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  4. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
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