CW复形

粗略地说，CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（），而“W”则代表“弱拓扑”（）。

单个 ${\displaystyle n}$ 维闭胞腔是指 ${\displaystyle n}$ 维闭球在贴映射下的像。例如，每个单纯形都是一个闭胞腔，或更一般地，每个凸多面体都是一个闭胞腔。单个 ${\displaystyle n}$ 维开胞腔则是一个同胚于 ${\displaystyle n}$ 维开球的拓扑空间。零维的开（或闭）胞腔是指一个单元素空间。而“闭有限”条件要求每个闭胞腔都可由有限个开胞腔所覆盖。

CW复形是一个豪斯多夫空间 ${\displaystyle X}$，连同一个将 ${\displaystyle X}$ 划为开胞腔（维度不必统一）的划分，并满足以下性质：

• 对 ${\displaystyle X}$ 的划分中的任意一个 ${\displaystyle n}$ 维开胞腔 ${\displaystyle C}$，存在一个从 ${\displaystyle n}$ 维闭球到 ${\displaystyle X}$ 的连续映射 ${\displaystyle f}$，使得：
  • ${\displaystyle f}$ 限制在闭球的内部上是到胞腔 ${\displaystyle C}$ 的同胚，且
  • 闭球的边界在 ${\displaystyle f}$ 下的像包含于 ${\displaystyle X}$ 的划分中的有限个维度小于 ${\displaystyle n}$ 的元素的并集内。
• ${\displaystyle X}$ 的闭子集即是与每一个开胞腔交于闭集（相对于开胞腔本身的拓扑）的集合（${\displaystyle X}$ 的拓扑为所有开胞腔的并的弱拓扑）。

如果一个CW复形中胞腔的维度最大为 ${\displaystyle n}$，那么我们称这个CW复形是 ${\displaystyle n}$ 维的。若胞腔的维度没有上限，那么我们说这个CW复形是无穷维的。CW复形的 ${\displaystyle n}$ 维骨架是指所有维度不超过 ${\displaystyle n}$ 的胞腔的并。如果这个并集是闭集，那么它本身就是一个CW复形，称为原复形的子复形。因此，CW复形的 ${\displaystyle n}$ 维骨架是维度不超过 ${\displaystyle n}$ 的最大子复形。

CW复形常常由其各个维度上的骨架通过归纳来定义。首先定义0维骨架为离散空间。紧接着将1维胞腔黏着到0维骨架上。这一步先将每个1维胞腔先视作1维闭球，然后通过某个从这个闭球的边界——即0维球面 ${\displaystyle S^{0}}$ ——到0维骨架的连续影射贴合。${\displaystyle S^{0}}$ 上的每一点都与其在该映射下的像与0维骨架上的某一点等同；这构成一个等价关系。如此，1维骨架就定义成0维骨架和所有1维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间。

概括而言，给定 ${\displaystyle (n-1)}$ 维骨架，${\displaystyle n}$ 维骨架是由在此基础上黏着 ${\displaystyle n}$ 维胞腔得到。每个 ${\displaystyle n}$ 维胞腔同样先视作 ${\displaystyle n}$ 维闭球，然后通过某个从这个闭球的边界——即 ${\displaystyle (n-1)}$ 维球面 ${\displaystyle S^{n-1}}$ ——到 ${\displaystyle (n-1)}$ 维骨架的连续影射贴合。${\displaystyle S^{n-1}}$ 上的每一点都与其在该映射下的像与 ${\displaystyle (n-1)}$ 维骨架上的某一点等同；这同样构成一个等价关系。这样，${\displaystyle n}$ 维骨架就定义成 ${\displaystyle (n-1)}$ 维骨架和所有 ${\displaystyle n}$ 维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间。

在同构意义上，每个 ${\displaystyle n}$ 维CW复形都可依此由其 ${\displaystyle (n-1)}$ 维骨架构造而成，因此每个有限维CW复形都能按以上方法构造。甚至对于无穷维CW复形也成立，只要借助拓扑空间的归纳极限来描述以上无穷过程的结果，这个结论也是对的：在极限的集合 ${\displaystyle X}$ 中，子集是闭集当且仅当它与每一个骨架都交于闭集（相对于骨架本身的拓扑）。

• 实数集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的标准CW结构中的0维骨架为整数集 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，而1维胞腔则是区间 ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$ 。相似地，在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的标准CW结构中的胞腔是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的0维和1维胞腔的积。
• 多面体带有自然的CW复形结构。
• 图是一维CW复形。
• 无穷维希尔伯特空间不是CW复形：它是一个贝尔空间（见贝尔纲定理），因此不能写成其 ${\displaystyle n}$ 维骨架的并，因每个骨架都是闭集且内部为空。这个论证也可引申到许多无穷维空间。
• ${\displaystyle n}$ 维球面容许一个只有两个胞腔的CW结构：一个0维胞腔和一个 ${\displaystyle n}$ 维胞腔，依靠从 ${\displaystyle S^{n-1}}$ 到0维胞腔的常映射黏着。另外一个替代的胞腔分解也很受欢迎，因赤道包含映射 ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n}}$ 的补集恰好是两个球：上半球和下半球。由归纳法可得 ${\displaystyle S^{n}}$ 的一个CW分解，每个维度 ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ 上恰好有两个 ${\displaystyle k}$ 维胞腔。
• ${\displaystyle n}$ 维实射影空间容许一个CW结构，每个维度 ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ 上恰好有一个 ${\displaystyle k}$ 维胞腔。
• 格拉斯曼流形容许一个CW结构，其胞腔称作舒伯特胞腔.
• 微分流形、代数和射影簇都同伦于CW复形。
• 空间 ${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subset \mathbb {C} }$ 同伦于CW复形（甚至是可收缩的），但不容许任何CW结构，因其不是局部可收缩的。
• 夏威夷耳环是不同伦于CW的拓扑空间的一例。

CW复形的奇异同调（或上同调）可以通过胞腔同调计算。此外，在CW复形和胞腔映射的范畴内，胞腔同调可以解读成一种同调论。如要计算CW复形的广义（上）同调，阿提亚-希策布鲁赫谱序列是胞腔同调的一个类比。

以下是一些计算的实例：

• 对于球面 ${\displaystyle S^{n}}$，取只带有一个0维胞腔和一个 ${\displaystyle n}$ 维胞腔的分解。胞腔链复形 ${\displaystyle C_{*}}$ 与同调皆为

${\displaystyle H_{k}=C_{k}=\left\{{\begin{array}{lr}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{array}}\right.}$

因为所有微分算子皆为零（实际上，上链复形与上同调亦然）。或者，如果我们取赤道分解，使得每个维度上各有两个胞腔，那么

${\displaystyle C_{k}=\left\{{\begin{array}{lr}\mathbb {Z} ^{2}&0\leq k\leq n\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

而微分算子是形为 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}}$ 的矩阵。这个复形给出的同调与以上计算一致，因为复形在除 ${\displaystyle C_{0}}$ 与 ${\displaystyle C_{n}}$ 项外都是正合的。

• 对于复射影空间 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} }$，可以相似地算得

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} )={\begin{cases}\mathbb {Z} \quad {\text{for }}0\leq k\leq 2n,{\text{even}}\\0\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

之所以这两例中计算都尤其简单，是因为同调完全由胞腔数目确定——换言之，胞腔的黏着映射在计算中没有扮演任何角色。这个现象只是特例，在一般情况下并不成立。

在某些专家眼中，CW复形的同倫範疇即使不是唯一的同伦范畴（基于技术原因，实际使用的版本是带基点的空间），也是同伦范畴的最佳候选。[4]因此，可能会得出非CW复形的空间的辅助构造需尽量避免。在这方面的基本结论是布朗可表性定理：同伦范畴上的可表函子可以借助CW复形来相当精简地刻画。

• CW复形是局部可收缩的。
• CW复形满足懷特黑德定理：CW复形之间的映射是同伦等价当且仅当在所有同伦群上都诱导出同构。
• 两个CW复形的积可以转化成一个CW复形。具体而言，设 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 为CW复形，那么 ${\displaystyle X\times Y}$ 上容许一个CW复形的结构，其胞腔即 ${\displaystyle X}$ 中的胞腔与 ${\displaystyle Y}$ 中胞腔的积，并配备弱拓扑。不出所料，这个新的CW复形的底集合就是 ${\displaystyle X\times Y}$ 本身。此外，多数情况下弱拓扑与 ${\displaystyle X\times Y}$ 上的积拓扑一致，例如当 ${\displaystyle X}$ 或 ${\displaystyle Y}$ 之一是有限CW复形（或更一般地，当它们之一是局部有限的，也即在每个维度它有有限个胞腔）。然而，如果 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 皆非局部紧，弱拓扑可能比积拓扑更精细。在这种不利的情形下，两个复形的积（作为拓扑空间） ${\displaystyle X\times Y}$ 不是一个CW复形。另一方面，${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 在紧生成空间范畴中的积的拓扑与弱拓扑一致，因此确实定义出一个CW复形。
• 设 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 为CW复形。函数空间 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ （带紧致开拓扑）一般不是CW复形。若 ${\displaystyle X}$ 是有限CW复形，那么 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ 同伦等价于一个CW复形；这是由于约翰·米尔诺的一个定理 (1959)。[5] 注意到 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 都是紧生成豪斯多夫空间，因此 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ 常常取其紧生成的变种；以上结论对于这个变种仍然成立。[6]
• CW复形的覆疊空間也是CW复形。
• CW复形是仿紧空间，而有限CW复形是紧空间。CW复形的紧子空间必定包含于一有限子复形内。[7][8]